【题解】CF319D 字符串 复杂度分析 哈希
好题,涉及复杂度分析,字符串结论,思维量较大。
发现这种操作是不好同时进行的,我们只能较为“愚蠢”地模拟着操作,但是这种操作最多又有可能有 $O(n)$ 次,直接做的复杂度是 $O(n^2)$ 的,但是能过,考虑优化,一个比较好想到的优化是把所有长度为 $len$ 的 $\text{XX}$ 一起缩,
首先若我们从小到大所掉了所有长度为 $[1,i-1]$ 的串后,接着缩完长为 $i$ 的串后不可能存在长为 $[1,i]$ 的 $\text{XX}$ 串可以再被缩,证明如下:
反证,假设缩完 $\text{XX}\to \text X$ 后有连续串 $\text{YY}$,且 $|Y|<|X|$:
若 $\text{YY}$ 有超出 $\text X$ 的部分,则会直接缩掉 $\text{YY}$,不符合。
$\text{X}$ 是 $\text{YY}$ 的子串,则一定可以选取 $\text{Y}$ 的一个子串使得它又是 $\text{X}$ 的前缀又是 $\text{X}$ 的后缀,所以 $\text{XX}$ 的拼接处一定存在一个长度小于 $\text X$ 的重复没有删除,不符合。
所以上述引理得证。
然后就证明了一件事:从小到大缩掉所有长度为 $len$ 的串是正确的,长度为 $len$ 的串是可以通过字符串算法或者相关技巧做到一次缩完,我们稍后讨论。
因为缩掉长度 $2len$ 的 $\text{XX}$ 后长度会减少 $len$,又因为总长是 $n$,所以所有串串最多有 $\lceil 2 \sqrt n \rceil$ 种不同的长度,因为 $1+2 \dots \lceil 2 \sqrt n \rceil \geq n$ 。
所以我们每次遇到能删的串串直接遍历全串删就完了,接下来我们要考虑如何判断是否存在 $len$ 的 $\text{XX}$ 串,用一个比较经典的套路就是将串分成长度为 $len$ 的段,如果某段和前面的 LCP 和 后面段的 LCS 的长度之和不小于 $len$,那么一定存在一个这样的串,暴力缩长度为 $len$ 的串,使用双指针或者哈希均可。
这样的观察点总数是 $\sum _{len=1}^{n/2} \frac n {len}=O(n\log n)$ 。
然后我们需要一个快速求 LCS、LCP 的算法,设其初始化复杂度为 $O(A)$,单次查询复杂度为 $O(B)$,则总复杂度为 $O(A\sqrt n + Bn\log n)$,在这里使用字符串哈希的 $A=n,B=\log n$ 优于后缀数组的 $A=n\log n,B=1$,总复杂度 $O(n\sqrt n+n\log^2n)$。
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