【题解】ARC153E 卷积优化dp 组合转化

神仙题。

首先考虑 Minimization 的策略，假设现在队首为 $f$, 如果加入的数 $Y_i < f$，放在队首是绝对更优的，如果 $y_i=f$，又因为这个数从前面放入的部分显然是不减的，所以放入一个新的相同的字符是不劣的。

计算 $X$ 的数量，相当于我们需要计算合法的 LR 序列数，但有和队首相同且整个序列都相同时 L 和 R 是等价的，所以钦定和队首相同时放到前面。

最开始的想法是：考虑枚举前面和后面放入的分界点，然后把单增的前半部分和后半部分“交叉”起来，使得每个放入后面的数都严格大于放入前面的，后来发现这样无法做到低于 $O(n^2|S|)$ 的复杂度，有很多东西被求出了很多次，没法继续下去了。

考虑一个信息利用效率高的做法——dp，令 $f[l,r]$ 表示 $Y[l,r]$ 可能对应的 $X$ 的个数，那么有转移：

$$ f[l,r]\to f[l,r+1] \quad (Y_r > Y_l) $$

$$ f[l,r]\to f[l-1,r] \quad (Y_{l-1}\leq Y_l) $$

于是我们可以 $O(n^2)$ 地解决这个问题了，考虑优化：

是发现很多状态是没有用的，比如对于串 $\texttt{1234543333332}$ 来说，$f[6,x]$ 都是没用的，因为结合我们前面说的，从前面插入的串一定是一个不降的串，这些状态显然无法转移到 $f[1,n]$，同样地，$f[5,7]$ 也是无用的，因为 $Y_r<Y_l$ 或 $Y_r=Y_l$ 且不是只用一种数字组成的串都是不可能出现的。

因为这个转移只和 $l,r$ 差 1 的相关，经典地，把 dp 状态看作一个网格，$f[l,r]$ 看作点 $(l,r)$，那么网格大概是这样的：

例串：$\texttt{122455452}$，有用的转移如下图：

即：保留开头一段单调不减的行，然后对于每一个行，它的最右端为它这段的末端后第一个小于等于它的数，每种数的转移都是前面的只能向上，最后一列多出来的那部分才能向右走（即图中的 $(2,3),(3,3)$，而 $(2,2)$ 不能。），求所有蓝色格子到 $(1,n)$ 的路径条数之和。

因为字符集大小 $|S|=9$，所以这个“阶梯”最多有九层，每层都形如下面这个形状：

因为这个形状的性质，左边那个三角形上方的那些点都是 $1$，总共又只有 $9$ 个阶梯，于是考虑从下往上处理每一个阶梯，并将结果代入下一个阶梯，

假设这个阶梯高 $len$，从原本的位置 $i$ 走到新阶梯开头的位置 $j$ 的方案数是 $\binom {j-i+len}{len}$， 容易发现这是一个卷积形式，即给原式的那个长方形对应的段乘上一个 $g(x)=\binom{i+len}{len}\times x^i$，再将三角形的底部赋为 $1$，传给下一个阶梯就可以解决了。

使用 NTT 进行卷积的运算，时间复杂度 $O(|S|n\log n)$。

代码：

实现很短，使用了 atcoder 库中的 modint998244353 类和 convolution 函数。

#define Z atcoder::modint998244353
#define poly vector<Z>
signed main()
{
    init( ) ; 
    read(s) ;
    n = strlen(s);
    Z unit = 1 ,zero = 0; 
    int lim = n ;
    for(int i = 1 ; i < n ; i ++) {
        if(s[i]<s[i-1]){lim = i;break;}
    }
    poly scan(n,zero);
    fill(scan.begin( ),scan.begin()+lim,unit);
    for(char c='9';c>='1';--c) {
        lb=tr=rb=-1;
        for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) if(s[i] == c) {lb = i;break;}
        tr = lb ; while(tr+1<n&&s[tr+1]==c) tr++;
        rb = tr + 1 ; while(rb<n&&s[rb]>c) rb++;
        if(lb==-1||lb>=lim) continue ;
        // [lb,rb)是有值的区间        
        poly tf,tg;tf.clear() , tg.clear() ;    
        for(int i = 0 ; i < rb - tr ; ++ i) {
           Z x ; x = C( tr - lb + i , i ) ; 
            tg.emplace_back( x );
        }
        for(int i = tr ; i < rb ; ++ i) {
            tf.emplace_back(scan[i]);
        }
        poly co = convolution(tf , tg) ;
        for(int i = tr ; i != rb ; ++ i) scan[i] = co[i - tr] ; 
        for(int i = lb ; i < tr ; ++ i) scan[i] = 1 ;

    }   
    cout << scan[n-1].val( ) ;
    return 0;
}

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参考了 AtCoder 原题解。

收录于《超级无敌神仙炫酷无敌原神大王好题》 。