【题解】CF1808E3 容斥 二项式反演 式子

whk 的时候想到的 $O(\log k)$ 做法，很带劲，建议加强到 $10^{18}$。

考虑因为不好计算 具体是哪个元素满足 $2x\equiv S \pmod k $，所以考虑统计全都不满足的序列然后减去。

$k=1$ 或 $n=1$ 时问题平凡，后文假设 $k > 1,n>1$。

$\text i . \ k\equiv 1\pmod 2 $

枚举 和 $S$ 后有唯一的 $x$ 使得 $2x\equiv S \pmod k $。

现在要求不存在任何 $x$ 且和为 $S$ 的情况。

然后用一个容斥来计算（钦定 $x$ 个不满足，全都满足）

$f(i)$ 为钦定 $i$ 个 $x$ 的方案数，答案为 $\sum_{i=1}^{n} (-1)^if(i) $， $f(i)=\binom n ik^{n-i-1}(x\neq n)$， 因为无论前面的和是多少，最后一位都可以选择某个唯一的数使得答案是 $S$，所以原式可以化为

$$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i \binom n ik^{n-i-1} + (-1)^nf(n) \\ =&\frac 1 k((k-1)^n-(-1)^n)+(-1)^n f(n) \end{aligned} $$

使用二项式定理处理求和，补上一个 $(-1)^n$。

所有 $S$ 的不符合的方案数之和就是

$$ (k-1)^n-(-1)^n+(-1)^n\sum_{s=0}^{k-1} f_s(n) $$

其中 $f_s(x)$ 表示和为 $s$ 且钦定全放 $x$ 的方案数等于 $[nx\equiv S\pmod k] =[(n-2)S\pmod k]$。

所以 $\sum_{s=0}^{k-1} f_s(n) = \operatorname {gcd}(k,n-2)$。

整理得答案等于 $k^n-(k-1)^n+(-1)^n-(-1)^n\operatorname {gcd}(k,n-2)$。

$\text {ii}. k\equiv 0\pmod 2$

此时对于所有的奇数 $S$ 一定不合法，考虑从 $\dfrac {k^n} 2$ 中减去不合法且 $S$ 是偶数的方案数。

对于偶数 $S$，有且仅有 $x_1= \dfrac S 2 ,x_2=\dfrac {S+k} 2$ 被禁止。

令 $f(i)$ 为钦定 $i$ 个 $x_1$ 或 $x_2$ 的方案数

$$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i \binom n i 2^ik^{n-i-1} + (-1)^nf(n) \\ =&\frac 1 k((k-2)^n-(-2)^n)+(-1)^n f(n) \end{aligned} $$

所有 $S$ 的不符合的方案数之和就是

$$ \frac 1 2( (k-2)^n-(-2)^n )+(-1)^n \sum_{s=0}^{k-1} f_s(n) $$

其中 $f_s(n) $ 是 $n$ 个 $x_1$ 或 $x_2$ 和为 $S$ 的方案数。

假设有 $c$ 个 $x_1$，$n-c$ 个 $x_2$，那么要求

$$ \sum_{c=0}^n [cx_1+(n-c)x_2\equiv S \pmod k] \binom n c $$

其中

$$ \begin{aligned} cx_1+(n-c)x_2&\equiv S \pmod k \\ \dfrac k 2 c+\dfrac S 2 n &\equiv S \\ \frac k 2 &c\equiv (2-n)\frac S 2 \end{aligned} $$

仅当 $(2-n)S\equiv 0\pmod \frac k 2$ 时，才有 $c = 2^{n-1}$，否则 $c = 0$，因为这相当于限制了组合数下指标的奇偶性，然后求和，所以答案总是等于 $2^{n-1}$

那么有

$$ \begin{aligned} f_s(n) &= 2^{n-1}[(2-n)S\equiv 0\pmod {\frac k 2}] \end{aligned} $$

那么

$$ \begin{aligned} \sum_{s=2t,0<2t<k} f_s(n)&= \sum_{s=2t,0<2t<k} 2^{n-1}[(2-n)S\equiv 0\pmod {\frac k 2}] \\ &=2^{n-1}\operatorname{gcd}(n-2,\frac k 2) \end{aligned} $$

整理得答案为

$$ \frac 1 2 (k^n-(k-2)^n+(-2)^n)+(-1)^n2^{n-1}\operatorname{gcd}(n-2,{\frac k 2}) $$

时间复杂度 $O(\log n)$，瓶颈在求最大公因数。