【题解】P4694 费用流线段树模拟费用流

费用流建模显然。

$s\to i (1,a_i),i\to i+1(+\infty,0),i\to t(1,b_i)$ ，流量为 $k$ 的最小费用。

因为决策都在一条链上，增广路的形态较少，考虑模拟费用流。

每一次增广一定选择了一对 $(a_i,b_j)$ 其中 $i\leq j$ 或 $i > j$ 且 $[i,j)$ 中这一段中均有大于 $0$ 的反向流量。

考虑分别维护两种信息。

第一种显然直接维护 $a,b$ 最值及其位置即可。

第二种较为复杂，展开叙述：

发现维护区间中是否有 $0$ 这种相关的信息是不好维护的，因为涉及加法和值域，发现区间最小值是 $0$ ，经典地，把维护区间 $0$ 的信息考虑成维护区间最小值的信息：我们考虑维护区间内部不经过流量最小值的对，这样就能够在进行流量加法的时候方便地打 tag。

具体做法如下：

维护

区间内最小 $a,b$ 及它们的坐标 $ma,mb$

区间内最小价值的 $vab=a_i+b_i(i\leq j)$ 。

区间内最小价值的 $vba1=b_i + a_j(i<j)$ 。

区间内最小价值的 $vba2=b_i + a_j(i<j\text{区间内 j 到 i 的流量均不为最小值})$ 。

上方这个信息无法简单的合并，合并的时候考虑最小值来源于左，右或分别来源于左右。

首先无论如何子区间的最值是可以选择的。

如果最小值来源于左边，那么右边任意 $a$ 都可以用用于更新答案，而左边可以更新答案的是一段后缀里面的 $b$ ，且这段后缀里面没有出现最值。

如果最小值来源于右边，那么左边任意 $b$ 都可以用用于更新答案，而右边可以更新答案的是一段前缀里面的 $b$ 。

如果两边都有最小值，那么更新答案的一定是一段左边的后缀 $b$ 和一段右边的前缀 $a$ 。

那么我们再考虑维护这个可行的前缀和后缀：

令 $p$ 表示区间里的一段前缀满足 $[l,p)$ 中的边流量都不达到区间最小值的前缀。

$pre$ 表示 $[l,p]$ 的最小值。

令 $s$ 表示区间里的一段前缀满足 $[s,r]$ 中的边流量都不达到区间最小值的前缀。

$suf$ 表示 $[s,r]$ 的最小值。

（区间开闭不同是因为上方可行条件是左闭右开的，此类细节需要注意）

这样就可以合并信息了。仍然是根据最小值的来源， $pre$ 和 $suf$ 分别有可能是某个子区间的 $pre$ 和 $suf$ 或者就是某个子区间的 $a$ ， $b$ 的最小值。

push up 代码：

struct node {
    int Smn ;
    ca ma,pre; cb mb,suf;
    pr ab,ba,b_a;
    //ma mb 最小值
    // pre suf suf：不含S最小值的后缀里的最小a pre：不含最小值的前缀及其后方第一个的最小b
    // ab ：一组ab，ba：不限制 的ba，b_a 限制 的 ba
} tr[N * 3];
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
void up(int x) {
    tr[x].Smn = min(tr[ls].Smn , tr[rs].Smn) ;
    tr[x].ma = min(tr[ls].ma , tr[rs].ma) ;
    tr[x].mb = min(tr[ls].mb , tr[rs].mb) ;
    tr[x].ab = min({tr[ls].ab , tr[rs].ab , O(tr[ls].ma , tr[rs].mb)});
    tr[x].ba = min({tr[ls].ba , tr[rs].ba , O(tr[rs].ma , tr[ls].mb)});
    if(tr[x].Smn != tr[ls].Smn) {
        // 最值仅来源于右儿子
        // if(x == 7) cout << tr[ls].suf.v << "qwq\n";
        tr[x].b_a = min({tr[ls].ba , tr[rs].b_a , O(tr[rs].pre , tr[ls].mb)});
        tr[x].pre = min(tr[ls].ma , tr[rs].pre) ;
        tr[x].suf = tr[rs].suf;
    } else 
    if(tr[x].Smn != tr[rs].Smn) {
        // 最值仅来源于左儿子
        tr[x].b_a = min({tr[ls].b_a , tr[rs].ba , O(tr[rs].ma , tr[ls].suf)});
        tr[x].suf = min(tr[ls].suf , tr[rs].mb) ;
        tr[x].pre = tr[ls].pre ;
    } else {
        // 两边都有最值 
        tr[x].b_a = min({tr[ls].b_a , tr[rs].b_a , O(tr[rs].pre , tr[ls].suf)});
        tr[x].pre = tr[ls].pre ;
        tr[x].suf = tr[rs].suf ;
    }  
}