【题解】P8885 dp套dp 矩阵乘法优化dp 分治

感觉全是套路的一个题，但很有意思，适合当 dp 套 dp 思想的入门理解。模拟赛赛时搬了个卡常版本被卡成了 $60$，很神笔，感觉这题难度不在数据结构部分吧。

定义一个串是奇的当且仅当这个串有奇数个本质不同可空子序列。

定义一个串是好当当且仅当这个串有奇数个奇子串。

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$\text{Part 1}$ 本质不同子序列计数（奇串的判定）

广为人知。

考虑求出一个固定位置

维护 $f_{i,c}$ 表示前 $i$ 个位置，目前以 $c$ 结尾的子序列计数。

转移方式：

$$f_{i,a_i}=\sum f_{i-1,j}+1$$$$f_{i,j}=f_{i - 1,j} (j\neq a_i)$$

即对于所有原本的子序列（包含空串），新加入一个数都可以使得它变成一个以这个数结尾的子序列，而对于其他串，并不以它结尾的子序列的个数。

把 $f$ 数组拍平（滚动数组）。我们只需要记录每个位置的奇偶性。

考虑和为 $0$ 的时候会将 $f_{a_i}$ 赋值为 $1$，而此时和为 $1$ 的时候会将 $f_{a_i}$ 赋值为 $0$，所以 $f$ 数组中无论如何是只会有不超过 $1$ 个 $1$ 的，考虑记录一个 $f_{U}$，表示 $f_{0}+f_{1}+1$，即该串的本质不同子序列数，那么在数组后面放一个 $a_i$，相当于交换 $f_{U}$ 和 $f_{a_i}$ 的奇值，过程如下。

$$ f'_{a_i} = \sum f_{j} = f_U $$$$ f'_{U} = f_{U} + f'_{a_i} - f_{a_i}=2f_U-f_{a_i}=f_{a_i} $$

所以我们只需要记录目前哪个位置的 $f$ 有值即可递推信息并维护本质不同子序列数。

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$\text{Part 2}$ 奇子串计数（好串的判定）

因为 $f$ dp 统计的是一个串的 dp 数，现在统计的就是所有子串的 $f$ 数组的信息，又因为我们要一位一位来，所以 考虑 dp 套 dp：统计目前 $f$ 数组的 dp 值对应的子串数。

令 $g_{of}$  表示目前这个串的 $f$ dp数组为 $of$ 的子串个数，其中 $of$ 被简化为 $\{0,1,U\}$ 表示有值位置。

统计所有子串的方式即是：对于每个位置：

1. 加入一个以这个位置开头的空串。
2. 进行转移—— 原本的 $f$ 添加了末尾的数会转移到 $f'$，那么就将 $g_{f}$ 转移到 $g_{f'}$。
3. 统计所有以此位置结尾的奇串个数，累加至 $tot$ 中。

因为 $f$ 只有 $3$ 个有意义的值，所以 $g_{f}$ 存三个状态。

我们可以统计对整个子串进行上面这个过程，通过 $tot$ 的奇偶性来判断这个串是否为好串。

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$\text{Part 3}$ 填充方案数计数（将好串的判定放入计数中）

我们已经能够统计这个子串是否是好的，只需要维护 $g_{0/1/U}$ 和 $tot$ 的值，接下来我们要维护所有填充方案的好串的判定。

考虑再套一层 dp：统计目前 $g$ 数组与 $tot$ 对应的的填充方案。 $h_{ (g,tot)}$ 表示目前填充方案使得目前的共统计状态为 $g$ 和 $tot$，因为本质不同的 $g_{f}$ 与 $tot$ 只有 $2^4$ 种，所以 $h$ 的状态只有 $16$ 种。

在确定了这个状态后某个 $(g,tot)$ 会转移至 $(g',tot')$ 那么在进行转移时将 $h_{(g,tot)}$ 转移至 $h'_{(g',tot')}$ 即可。

直接进行转移，时间复杂度 $O(q n \times s)$，其中 $s=16$。

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$\text{Part 4}$ 数据结构优化

观察到这个区间查询的 dp 的形式是一个线性的转移，且第二维较小，考虑使用矩阵乘法优化转移，使用数据结构区间查询某段矩阵的乘积，时间复杂度可以做到 $O( (n+q\log n)s^3)$，很基础不在赘述。

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$\text{Part 5}$ 常数优化与状态减少

首先线段树查询不需要整个矩阵的信息，故将矩阵乘矩阵优化成向量乘矩阵，复杂度 $O(ns^3+qs^2\log n)$，可以过掉这个题了。

首先这个矩阵的大小是很大的，但是单个位置的转移矩阵较为稀疏只有 $O(s)$ 个值，这样的矩阵的乘法是可以 $O(s^2)$ 完成的，所以我们不想像线段树那样合并两个一般矩阵，考虑猫树分治求答案，这样维护前后缀乘积的答案就是一般矩阵乘上单个转移矩阵，复杂度 $O(n \log n s^2 + qs^2)$。

在复杂度上我们很难再优化了，但是状态数还可以再减少！观察到我们前面处理 $g$ 的时候加入的串的总数的奇偶性是固定的（给 $g_{U}$ 改变了一次奇偶性，所以我们是可以通过目前的总长度和 $g_0,g_1$ 推出来 $g_{U}$，故可以将需要记录的的状态减少 $3$ 个，可以将 $s$ 减小到 $8$，但是需要分别记录奇数和偶数的矩阵，将一个常数 $2$ 从平方内移到了平方外，会快很多。

笔者没加最后这个优化，目前最优解第二，这里是代码。