【题解】P5359 dp优化 复杂度分析

一个可以做到线性的办法。

给你一个 $2\times n$ 的网格图，有些点已经被着色，求这个图的 $c$ 染色方案数。

1. $n,c\leq 10^4$

2. $n,c\leq 10^5$

3. $n,c\leq 10^7$

考虑只有一行怎么做？

$f_{i,j}$ 表示点 $i$ 颜色为 $j$ 的方案数。

把 dp 拍了，只管第二维。

转移每步转移到其他颜色，相当于求全局和 $s$，再将每个元素置为 $(c-1)s - f_i$，再加上一个全局置零。

可以通过 维护一个全局标记 $a_i\gets k a_i +b$，这是可并的，同时维护 $k$ 的逆元，复杂度线性。

很困难的问题就是如果有两行怎么办，很难避免记录两个格子的颜色，如果记录了复杂度完全没办法降低。怎样才能只记录一个格子的颜色呢？

考虑在有一个位置被染色的列断开，进行 dp，这样两个断点之间都是空白的区域，而在断点处有至少一个格子的颜色是确定的，记录另一个即可。

两个断点之间的方案数如何计算？

分情况：

100..001
a00..00b

100..002
a00..00b

100..00b
a00..002

100..00b
a00..001

总共只有四种本质不同的情况，每种情况对于某个 $a$，转移的方案数不同的 $b$ 只有 $O(1)$ 种 ： $b = 1$ 或 $b = 2$ 或 $b = a$。

这是可以预处理的（因为有意义的颜色只有 $O(1)$ 种），直接记录两个位置的值暴力 dp 与处理出来即可。

这样可以做到 $O(nc)$，还是把 dp 拍了，考虑 $f_i \to f_{i+1}$ 的变化：

有区别的 $a$ 也只有 $O(1)$ 种，其它像其它转移到系数都是相同的，只有转移到自己的系数是不同的。

也就是 除去那 $O(1)$ 个值，剩下的值还是进行的是一个线性变换，令转移到 $b = a$ 的系数是 $s_0$，转移到其它值的系数是 $s_1$，那么就是 $f_i\gets (s_0-s_1)f_i+sum\times s_0$，$sum$ 表示所有不为那 $O(1)$ 个 $a$ 的 $f$ 值之和。

$x\gets kx+b$ 这是一个线性变换，是可并的，维护形如线段树 2 的 tag 即可。

然后这个过程总共还有 $O(n)$ 次单点修改 和 全局清空。

因为不方便修改全局 tag，所以修改当前值，解出 $kx+b=value$ 的 $x$ 赋值即可，所以我们需要保持 $k$ 非 $0$，否则会没有逆元，当 $k=0$ 时直接当作全局清空后赋值为 $k=1$，$b$ 不变即可。

时间复杂度 $O(n\log mod)$，瓶颈在求逆元。

然后可以用在线 $O(1)$ 科技求逆元。

（那玩意常数太大了，怎么可能。）

考虑缩减求逆元的次数，我们每次乘上去的 $k$ 一定是预处理出来的某种长度的方案数，求出每次的逆元，再维护一个 $k$ 的逆元。

因为不同的长度只会有 $O(\sqrt n)$ 种，所以维护的逆元只有 $O(4 \sqrt n)$ 个。

复杂度线性。