【题解】P5609 | 线段树 分段函数维护 人类智慧

对数据结构的爱，未曾衰减？

本题解参考了 Saliеri 的题解。

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首先对于这类数经过操作求最终值的问题，可以比较简单地想到一个分块做法：

将序列分块，每块长度为 $O(\sqrt n)$，对于每一块我们需要维护某个值进去会以另外某个值出来，然后就可以在在整块上快速查询然后模拟散块，考虑这个某个值进去会以另外某个值出来的函数，令其为 $f(x)$，容易发现 $f(x)$ 是一个分段函数且每段是一次函数，其段数是 $O(\text{区间长度})$ 的，考虑对于每个块求出这个分段函数。

维护该分段函数的分界点 $k_i$ 进入该区间后出来且至少减去了 $i$ 个 $p$ 的最小值。

引理：$k_i$ 单增且 $k_i -k_{i-1}\geq p$。

证明：因为 $k_i$ 是最小的满足至少减去了 $i$ 个 $p$ 的值，考虑减去 $i$ 次 $p$ 后一定变成了 $0$ 或负数，至少需要加上 $p$ 才会能够继续减。

考虑增量维护 $\{k_i\}$，新的 $k_i$ 发生改变仅当加上新加入的这个 $a_x$ 后可以减去 $p$，即 $k'_{i+1}$ 可以被如下更新：

需要满足能够在前面部分减去 $ip$ 并加上 $a_x$ 后大于等于 $p$，故需要满足如下条件：

$$k'_{i+1}\gets \min(k_{i+1},\max(k_i,p - a_x+ip))$$

且需要满足条件 $p-a_x+ip < k_{i+1}$，该条件意味着 能够满足在这次能被减去的数不能在之前被减去了超过 $i$ 次，否则到该数时的值就不是 $A-ip+a_x$ 了，可能会减去更多。

所以我们就有了个 $O(n\sqrt n+m\sqrt n\log n)$ 的做法，但是不太能过，应该怎么继续下去找到一个 $\text{polylog}$ 的做法？

之所以要分块是因为这个分段函数看上去很不可多元合并，只可以单元添加，如果可以多元合并就可以建出线段树，因为本题中的分段函数性质很特殊，考虑设计如下一种合并方式：

枚举在左侧和右侧的被减去的次数 $kl_i,kr_j$，试图判断能否在整个区间构成减去 $k_{i+j}$ 次的情况，记录左侧的和为 $S$，则有如下更新：

类似上面，若满足条件 $kr_j - s + ip < kl_{i+1}$ 才可以去更新，即在左侧被减去了 $i$ 次，否则会减去 $i+1$ 次或更多。

对于满足条件的 $i,j$ 有如下更新：

$$k_{i+j}\gets \min(k_{i+j},\max(kl_i,kr_j-s+ip))$$

直接枚举 $i,j$ 并进行合并的复杂度是平方的，我们继续挖掘性质。

令 $V(i,j)=\max(kl_i,kr_j-s+ip)$。

定理：对于一个固定的 $i+j$，被 $i$ 最小的 $i+j$ 更新到是最优的。

证明：试比较 $V(i,j),V(i+1,j-1)$，因为有 $kr_j - s + ip < kl_{i+1}$，所以一定有 $\max(kl_i,kr_j-s+ip) < \max(kl_{i+1},kr_{j-1 }-s+ip)$。

所以我们只需要对每个 $i + j$ 求出最小的 $i$ 可以去更新它，又因为可以更新的条件是 $kr_j - s < kl_{i+1} - ip$，随着 $i$ 增大而越来越松，所以用双指针枚举最大的 $j$ 即可。

于是我们求出了所有线段上的分段函数的形态，查询时直接在线段树上依次对 $O(\log n)$ 个分段函数进行二分，时间复杂度 $O(n\log n + m \log^2 n)$。