【题解】P5609 | 线段树 分段函数维护 人类智慧
对数据结构的爱,未曾衰减?
本题解参考了 Saliеri 的题解。
首先对于这类数经过操作求最终值的问题,可以比较简单地想到一个分块做法:
将序列分块,每块长度为 $O(\sqrt n)$,对于每一块我们需要维护某个值进去会以另外某个值出来,然后就可以在在整块上快速查询然后模拟散块,考虑这个某个值进去会以另外某个值出来的函数,令其为 $f(x)$,容易发现 $f(x)$ 是一个分段函数且每段是一次函数,其段数是 $O(\text{区间长度})$ 的,考虑对于每个块求出这个分段函数。
维护该分段函数的分界点 $k_i$ 进入该区间后出来且至少减去了 $i$ 个 $p$ 的最小值。
引理:$k_i$ 单增且 $k_i -k_{i-1}\geq p$。
证明:因为 $k_i$ 是最小的满足至少减去了 $i$ 个 $p$ 的值,考虑减去 $i$ 次 $p$ 后一定变成了 $0$ 或负数,至少需要加上 $p$ 才会能够继续减。
考虑增量维护 $\{k_i\}$,新的 $k_i$ 发生改变仅当加上新加入的这个 $a_x$ 后可以减去 $p$,即 $k'_{i+1}$ 可以被如下更新:
需要满足能够在前面部分减去 $ip$ 并加上 $a_x$ 后大于等于 $p$,故需要满足如下条件:
$$k'_{i+1}\gets \min(k_{i+1},\max(k_i,p - a_x+ip))$$
且需要满足条件 $p-a_x+ip < k_{i+1}$,该条件意味着 能够满足在这次能被减去的数不能在之前被减去了超过 $i$ 次,否则到该数时的值就不是 $A-ip+a_x$ 了,可能会减去更多。
所以我们就有了个 $O(n\sqrt n+m\sqrt n\log n)$ 的做法,但是不太能过,应该怎么继续下去找到一个 $\text{polylog}$ 的做法?
之所以要分块是因为这个分段函数看上去很不可多元合并,只可以单元添加,如果可以多元合并就可以建出线段树,因为本题中的分段函数性质很特殊,考虑设计如下一种合并方式:
枚举在左侧和右侧的被减去的次数 $kl_i,kr_j$,试图判断能否在整个区间构成减去 $k_{i+j}$ 次的情况,记录左侧的和为 $S$,则有如下更新:
类似上面,若满足条件 $kr_j - s + ip < kl_{i+1}$ 才可以去更新,即在左侧被减去了 $i$ 次,否则会减去 $i+1$ 次或更多。
对于满足条件的 $i,j$ 有如下更新:
$$k_{i+j}\gets \min(k_{i+j},\max(kl_i,kr_j-s+ip))$$
直接枚举 $i,j$ 并进行合并的复杂度是平方的,我们继续挖掘性质。
令 $V(i,j)=\max(kl_i,kr_j-s+ip)$。
定理:对于一个固定的 $i+j$,被 $i$ 最小的 $i+j$ 更新到是最优的。
证明:试比较 $V(i,j),V(i+1,j-1)$,因为有 $kr_j - s + ip < kl_{i+1}$,所以一定有 $\max(kl_i,kr_j-s+ip) < \max(kl_{i+1},kr_{j-1 }-s+ip)$。
所以我们只需要对每个 $i + j$ 求出最小的 $i$ 可以去更新它,又因为可以更新的条件是 $kr_j - s < kl_{i+1} - ip$,随着 $i$ 增大而越来越松,所以用双指针枚举最大的 $j$ 即可。
于是我们求出了所有线段上的分段函数的形态,查询时直接在线段树上依次对 $O(\log n)$ 个分段函数进行二分,时间复杂度 $O(n\log n + m \log^2 n)$。
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