浅谈 树上带权最长最短路径，决策包容性与点分树

$\text {preface}$

最近学习了点分树相关的内容，也碰巧见识到了许多……树上路径问题（非负权），最长或是最短，有的可以用点分治（树）解决，有的可以用 线段树解决，有的需要深层次挖掘性质，就在这里做一个小小地总结了一些另类的方法。

1.树上带权最长路径

规律 $\text {i}$ :

带修最长路径问题往往可以通过 $dfs$ 序转化为 在线段树上维护 $a_x+b_y+c_z(x < y \leq z)$ 最值的问题。

或者说，带权树直径……？

这个其实是在我思考…… luogu P7565 的一个愚蠢至极的做法的时候理解的。

引入：

给出一棵树边权为 $1$，有点权，定义 $D(u,v) = dis(u,v)+w_v$，定义每个点 $u$ 的树半径为 $\max D(u,x)$，你需要支持修改点权，查询所有点树半径的最小值。

将半径问题转化为直接问题，可以证明半径最小值等于带权树直径的一半，于是维护树的直径，$\max_{u,v} (w_u+w_v+dis(u,v))$。

树上一条路径的长度可以被表示为 $dep_u + dep_v-2dep_{lca}$，同时在 dfs 序上将路径拆分，（dfs序 求LCA）表示为 $(u,v]$ 中最浅的点的父亲。

所以尝试将路径表示为 $dep_i - 2depfa_j + dep_k (i < j \leq k,\text{j 是 (i,k] 中深度最小的点})$ 的形式，其中 $depfa$ 表示父亲的深度。

$\text {lca}$ 或者说深度最浅的点这个限制的存在让我们难以维护，但是由于我们要求的是 $\max$，所以对于一组 $(i,k]$ 我们选择的 $j$ 如果不是最浅的，那么这样一定不优，因为会让减的 $dep$ 变大，我们对这种并不正确的统计有包容性，这样是不影响答案的，所以可以直接维护 形如 $dep_i - 2depfa_j + dep_k (i < j \leq k)$ 的形式。

本题中就维护 $dep_i + w_i - 2depfa_j + dep_k + w_k (i < j \leq k)$，就行了，可以支持单点修改。

维护的方式就是和 $a_x + b_y + c_z(x<y<z)$ 一样的，维护 $a_x,b_y,c_z,a_x+b_y(x<y),b_y+c_z(y<z)$，这个东西显然可合并拼接。

*题目出处：CF1783 G.Weighed Tree Radius ，本题官方题解是线段是分治维护直径，常数大且不能在线。

例：

给你一棵树，带边权和点权，距离的定义 $D(u,v) = w_u+w_v+dis(u,v)$，每次询问离一个点距离最大的点，支持修改边权和点权和加叶子。

加叶子就是个诈骗操作，离线了等于没有，

还是把路径拆成类似的形式，接下来我们要查的就是 $dfs$ 序 在 $u$ 前 $u$ 后 分别查一下 $dep_i + w_i - 2depfa_j(i<j)$ 和 $- 2depfa_j + dep_k + w_k(j\leq k)$ 的最大值就行了，然后修改点权是平凡的，修改边权其实就是给 $dep$ 做区间加，给 $depfa$ 做一个区间加和一个单点修改。

题目来源：原创，感觉还行，虽然好像直接 LCT makeroot 模拟就行……？。

再举一个很蠢的例子，给一棵无根树对于每个 $x$，找出两个 $siz \geq x$ 且距离最远的不交子树。

先给树定个根，然后对于 有祖先关系的，直接 dfs 序上取 $\min$ 或者求 $\min$ 就行了，接下来考虑没祖先关系，这个时候就可以直接用 $siz$ 了，把点 $siz$ 从小到大加进去，然后就是类似刚刚的问题了，为了避免出现祖先关系，加入一个点之后把已经加入的祖先全部都设为不可用（正无穷）就行了，祖先一定在父亲被更新过了，所以只用更新父亲就行。

*题目出处：简化后的 JOISC 2021 Day3

2.树上带权最短路径

规律 $\text {ii}$ :

带修最短路径问题可以考虑点分治（树），枚举分治中心作为路径上的点，将路径拆分成两半处理，这类问题往往可以转化为在点分树上子树内的最近点的查询。

引入：

如何给出一棵树（权值均非负），对于每个点 $u$ 求 $\min_{v\neq u} {dis(u,v)+w_v}$？

这个问题并不困难，很容易想到用点分治解决，我们只需要对树进行质心分治，每次分治的时候处理所有过点 $x$ 的路径，在计算时保留离分治中心最短及次短的路径就行了。

那么 动态修改 + 询问呢 ，例如修改一条边权或者点权，查询点权值。

这个时候就要使用点分树（动态点分治）了，将路径从点分树上的公共祖先拆成两部分 $u \to \operatorname{lca}(u,v),\operatorname{lca}(u,v) \to v +w_v$，即枚举这条路径在点分治的哪一层被统计到的，然后接下来就要对于这个 $\operatorname{lca}$，求出 和 $u$ 不在同一子树的 $v$ 的距离的最小值，这是难以统计的，因为这个信息 不同于模板中的点权和，并没有可减性*。

*：点分树 在统计的时候往往要查询在 $LCA$ 子树且不在 $u$ 子树中的所有 $v$ 的信息，这个形状在树上是很畸形难以维护的，往往需要利用信息的可减性或是包容性，我们稍后会谈到。

但是发现，我们可以不管和 $u$ 不在同一子树这一限制，因为即使在不是 $\text{lca}$ 统计了，也不会影响答案，因为在不是 $\text {lca}$ 的点 $X$ 统计，能够选择的 $v$ 集合一定不会更大，因为在原树上的路径相当于多出了一段非负的长度 $u \to x \to X \to x \to v$ 可以查询的集合也就更小了，我们把这种性质称作决策包容性。

决策包容性使得我们可以查询一个更完整的形态的集合，其中某些点一定不影响答案，这样在本题中，我们可以直接查询这整棵子树中最优秀的点，可以直接用数据结构维护。

点分树也使得一次修改 只需要考虑那 $\log$ 次分治时 $x$ 到所选的分治中心所受到的影响，所以可以直接在 $\log$ 次中修改，在这道题中对边权的修改本质也是相同的，只需要拿线段树维护子树距离加减就行了，复杂度 $O(n\log n+q\log^2n)$。

*题目出处：PA2017 Banany，本题官方题解为树链剖分后维护启发式暴力维护轻子树信息，也有优雅的根号重构做法，值得一看。

例：

给出两棵树 $T1,T2$ ，定义两个点的距离 $D(u,v)$ 为标号 $u$ 的点和标号 $v$ 的点在两棵树上的距离和，对于每个点，求 $D$ 距离最小的点，$2.5\times 10^5$。

有一个部分分是 T2 是一条链。

这个部分分还是蛮显然，启发我们对 $T1$ 进行点分治，查询，把链上距离的绝对值拆开，查询 $dis - x$ 和 $dis + x$ 最近点就行了。

那么如果 T2 是一棵树呢？

我们显然不能 再枚举了，因为树上的路径关系是不能用简单的 左，右 来描述，常见的描述方式还是将路径从路径上一个点拆开，即点分治，我们考虑建出 T2 的点分树，然后查询时，枚举两个点在 $T2$ 点分树上的 LCA，然后在这 $\log$ 个点统计一下路径。

然后还是会有刚刚一样的问题：我们需要在 LCA 处统计，这很困难，因为我们需要要求 $v$ 不在 $lca$ 处 $u$ 的子树中，但是因为边权非负，那些不在 $lca$ 处被统计的点一定是不优的，路径一定变成了 $u \to x \to X\to x \to v$ 的形式，这样统计到的点一定是不会影响答案的，于是我们可以直接查询 子树内和 $LCA$ 最近的点就行了。

*题目出处：XX Open Cup Korea K.Wind of Change，本题官方做法为点分治+虚树。

于是我们可以把带有这种，查询在 $LCA$ 子树且不在 $u$ 子树中的所有 $v$ 的信息，通过包容性或者可减性（模板题中查询 $LCA$ 子树再减去 $u$ 子树），转化为子树查询，这是一个形态完整的集合，往往可以用数据结构维护。

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废话：

文化课好痛苦。

好像把我巨大的名字插进省队小小的名单里啊.jpg……？