Uoj228 基础数据结构练习题

Uoj228

最开始好像是在那个区间加区间 $\text{popcount}$ 的题里看到有人提到这个题，就来写下。

离联合省选还有 26 天，发了一上午呆。

题意区间加区间开根区间和 $n,m\leq10^5$ ，1s 256mb

遇到区间开根这种显然无法整体打 Tag 的东西，一般考虑势能分析。

如果你做过这个题没有区间加的弱化版的话，考虑一个数开根 $\log \log n$ 次就会变成 $1$ ，如果没有区间加的话，就维护一下区间里有没非 $1$ 的数暴力开根就行了。

有这个区间加的话，简单分析一下可以发现：对于两个差很大的数，复合若干次 $f(x)=\sqrt{x+a}$ 后差会变得很小，进一步地，对于两个数 $a,b$ ， $\sqrt a-\sqrt b\leq \sqrt {a-b}$ 给式子两边平方一下可以简单地发现。也就是说差大于 $1$ 的两个数会在若干次复合后变成差为 $1$ 的，再变成 $0$ ，其中有一种特殊情况就算 $b-a = 1,b = z^2 ,z\in Z$ 操作后差仍然为 $1$ 。

也就是说对于两个同一个段里不同的数。即使有区间加，我们最多给他们各自开根 $O(\log\log n) = 4$ 次后差就会变成 $1$ 。

然后这个问题就变的清晰起来了，考虑分块：

如果一个块不满足所有数相同或开根后极差仍然为 $1$ ，就暴力开根，否则打标记处理和的变化。

考察每个块的极差作为势能， $\Phi(s)$ 表示状态 $s$ 时的势能，令 $\Phi(s)=\sum_p\log \log ( \max(p)-\min(p) )$ ，我们每暴力进行一次根号级别的暴力开根，新状态的势能至少减少 $1$ ，即 $\Phi(s')\leq\Phi(s) -1$ ，每次区间加或区间开根显然只会给边上的 $O(1)$ 块带来 $O(\log \log n)$ 所以时间复杂度是均摊 $O(n\sqrt n\log\log n)$ 的，可以摊成 $O(n\sqrt {n\log\log n})$ 但是更慢了，反正都不卡常随便过。