线段树分治时间轴

由于CF做到了题目 Lenient Vertex Cover , 故有此文。

线段树分治，是一种用于离线处理修改或询问是在时间轴上的问题，在时间轴上建立线段树，将操作分摊到每个线段树的节点上的离线数据结构。

适用范围：

1.允许离线

2.操作或询问在时间轴中的一段区间生效（有时候需要很巧妙的时空转化或这人造时间轴）

3.操作易于添加，难于删除，但不难按顺序“撤回”，或是可持久化。

4.时间轴上点是有限的，或是可离散化的。

通常地，1e9以上的数量级一般会认为是“无限”的。

模板题：二分图

给你一个图，每条边会在某段时间 $[lt,rt]$ 存在，判断每个时刻该图是否为二分图 $n,t,m\leq 2\times 10^5$ 。

对于“加边”操作很好处理，使用扩展域并查集维护即可。

现在考虑不是“删边”，而是把这条边”放“到一段它存在时间轴上，在线段树对应的时间轴上的 $\log n$ 个区间中，这样线段树的每个点都对应着一段时间里存在的边，每个时刻存在的边实际上就是所有根到该叶子的边的并。

于是我们最后遍历一遍线段树，处理这些询问，如下：

1 进行该点的所有操作（合并并查集，维护目前是不是二分图）

2 递归左右儿子，若为叶子，统计答案。

3 撤回所有操作，回溯。

由于需要“撤回”，所以使用按秩合并即可，最后倒序撤回所有操作即可。

时间复杂度 $O((t+m)\log t\ \log n)$ ，小常数，通常 1s 能无伤 1e6 。

至于为啥名字里有线段树的东西是小常数，，，因为没有上传下放 $\text {MainTain , Tagdown}$ 等函数，并查集的常数也很小。

一些本质也是模板的题

CF1680

题意：问一个图是否存在一个点覆盖使得最多有一条边被覆盖了两个端点。

题意可以转化为该图是否可以在删1条边后成为二分图，建立时间轴使得每条边恰好在某一时刻不存在即可，然后变成模板题。

P5227

题意：多次询问删去某些边后图是否联通，每次删去的边集 $\leq 4\ ,\ \ n,m,q\leq2\times 10 ^5$

将对应的边转成在时间轴上的某个点不存在即可变成模板，判断并查集树形结构中根的 $siz=n$ 即可判断图是否连通。

都是判断删除某些边转化为“时间轴”上的问题。

一些不那么板的题

CF1140F

题意：定义扩展集 $f(s)$ 为不断执行一下操作后的 $s$ , $for \ (x,y)\ \ (a,b)\in s,\ (a,y)\in s, \ (x,b)\in s \ , \ add(x,y) \ to\ x$

支持加点和删点， $n \leq 2\times 10^5$

对于这种“极大扩展集”的套路：将 $(a,b)$ 看作边 $a\leftrightarrow b$ ，那么构成的图是二分图，一个点能被扩展的条件是存在这条边对应的题意中的三条边将两个点链接，那么可以连接该边，最终图中的边数即为答案，那么一个大小为 $(lsiz,rsiz)$ 的连通块产生的贡献为 $lsiz * rsiz$ 。