【题解】P8969 Dream with Dynamic | 线段树 思维

看到这个题的题解都很简略，所以我写详细点。

首先这个 \(\operatorname{popcount}\) 函数的势能性质是不好分析的，因为 \(a\geq p\) 时 \(\operatorname{popcount}(a)\) 不一定大于 \(\operatorname{popcount}(b)\)， 所以只能考虑 \(\operatorname{popcount}\) 的值域为 \(O(\log V)\) 的性质，

线段树维护，将操作分为若干线段，接下来如果某个段在某个时刻被求过一次 \(\operatorname{popcount}\)，后面无论再怎么整段地加，它的值都可以表示成 \(\operatorname{popcount}( \dots) + b\) 的形式，所以我们考虑在线段树上维护标记：

\(f(\operatorname{popcount}(x+a))+b\)，其中 \(f(x)\) 是一个 值域和定义域均为 \(O(\log V)\) 的函数，这样做的原因如下：

我们把操作序列形象地描述出来，加法是 \(\texttt a\)，区间做 \(\operatorname{popcount}\) 是 \(\texttt p\)，那么操作序列例如

\[\texttt{apapppaaapaaa} \]

我们把加法合并成一次再按照 \(p\) 分段：

\[\texttt{ ap| ap | ap | ap | ap | a} \]

就变成了若干次 \(\operatorname{popcount}(x+b)\) 的复合，这就是一个值域 \(O(\log V)\) 的函数，从第二次开始定义域也变成了 \(O(\log V)\)，于是我们直接维护第一步函数的样子，暴力维护第二步开始以及后面函数的复合，单独计算最后的加法就可以做到了。

纯加法需要单独记录，它的值域不同。复合时也需要特判。

时间复杂度 \(O(q\log n\log V)\) ，可以跑进 4s，做一些卡常性质的处理（如对于区间长度小于 \(3\log V\) 的区间，再次下传标记是不优秀的，不如暴力）即可跑进 2s，目前最优解第二。