【题解】P8969 Dream with Dynamic | 线段树 思维
看到这个题的题解都很简略,所以我写详细点。
首先这个 \(\operatorname{popcount}\) 函数的势能性质是不好分析的,因为 \(a\geq p\) 时 \(\operatorname{popcount}(a)\) 不一定大于 \(\operatorname{popcount}(b)\), 所以只能考虑 \(\operatorname{popcount}\) 的值域为 \(O(\log V)\) 的性质,
线段树维护,将操作分为若干线段,接下来如果某个段在某个时刻被求过一次 \(\operatorname{popcount}\),后面无论再怎么整段地加,它的值都可以表示成 \(\operatorname{popcount}( \dots) + b\) 的形式,所以我们考虑在线段树上维护标记:
\(f(\operatorname{popcount}(x+a))+b\),其中 \(f(x)\) 是一个 值域和定义域均为 \(O(\log V)\) 的函数,这样做的原因如下:
我们把操作序列形象地描述出来,加法是 \(\texttt a\),区间做 \(\operatorname{popcount}\) 是 \(\texttt p\),那么操作序列例如
我们把加法合并成一次再按照 \(p\) 分段:
就变成了若干次 \(\operatorname{popcount}(x+b)\) 的复合,这就是一个值域 \(O(\log V)\) 的函数,从第二次开始定义域也变成了 \(O(\log V)\),于是我们直接维护第一步函数的样子,暴力维护第二步开始以及后面函数的复合,单独计算最后的加法就可以做到了。
纯加法需要单独记录,它的值域不同。复合时也需要特判。
时间复杂度 \(O(q\log n\log V)\) ,可以跑进 4s,做一些卡常性质的处理(如对于区间长度小于 \(3\log V\) 的区间,再次下传标记是不优秀的,不如暴力)即可跑进 2s,目前最优解第二。
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