【题解】 ARC146E Simple Speed

牛逼逼题。

首先发现序列的总长是非常大的，和矩阵快速幂之类的东西也没啥几把关系，肯定就不能从序列的角度进行 dp 了，于是从值域角度进行 dp 。

从小到大把每种数放进去。

自己想到了类似连续段 dp 的做法 ， 但是不太会处理快速转移 ， 想到了枚举新建的连续段的数量和合并的连续段的数量，也发现了两者的差是定值，但是完全没有想过不考虑合并这些操作，只是考虑插板的相对位置 。

$f_{i}$ 表示两个端点都没有被钦定，有恰好 $i$ 个连续段的方案数。

$g_i$ 表示端点被钦定一个， 有恰好 $i$ 个连续段的方案数。

$h_i$ 表示端点都被钦定了， 有恰好 $i$ 个连续段的方案数。

有转移

$f' , g' , h'$ 表示新的 $f , g,h$

$f'_{A-i} = f_i \times \binom {A-1} j$

$g'_{A - i + 1} = f_i \times \binom {A-1} {j-1}\times 2 + g_i \times \binom{A-1}{j-1}$

$h'_{A_i+2} = f_i \times \binom {A-1} {j-2}+ g_i \times \binom{A-1}{j-2} + h_i \times \binom {A-1}{j-2}$

波特们都说这题神仙在状态数是 $O(n)$ 的，转移很简单。

我反而觉得状态数 $O(n)$ 挺显然的 ， 转移才是妙点。

就拿 $f \to f'$ 来举例子。

转移到的目标是 $A - i$ 很好理解。

就是你得在每个原来的段两边都得有两个目前的数才行，这样你就有了 $j$ 段 ， 再把其它 $n - 2j$ 个加进去就是 $n - j$ 段 ，这时候合并两个段就是拿一个中间的走 ，由于要把目前的数全部放完，就得新建一个段，所以总段数仍然是 $n - j$ 。

这个系数的来源是这样的。

考虑先放了 $j + 1$ 数进每个段的右边以及最左边段的左边 ， 现在还剩 $A - j - 1$ 个数 ， 要把这些数插到 $j$ 段形成的 $n + 1$ 个集合，所以方案数是 $\binom {A-1} j$ 。

Q：为什么插板的组合意义和连续段是一一对应的？

A：现在的假设下，所有段都被合并成了一段，在最左、最右插数，实际意义是在最这里新建，在其它位置插板第一次是将这里“断开”成两个连续段 ， 即选择不合并，后面再插板即是新建。

其它式子的组合意义类似。

Q：为啥显然 dp 的状态是 $O(n)$ 的。

A：

考虑归纳

令 $S_i = A_i - S_{i-1}$ ，

对于每个时刻。

显然 $f$ 的取值只有一种 $S_i$ ， $g$ 从 $f$ 转移过来的值只有$S_i + 1$ 。

假设以及证明了之前的取值只有 $S_i ,S_i + 1$

那么这一步也只会产生 $S_i , S_i + 1$ ，
最开始又只有 $S_i + 1$。

对 $h$ 的证明同理。