P8968 觅光 Hard Version 路径压缩 思维 数据结构

因为这里是 1C 的题解不是 2C 的题解，所以就不在叙述博弈的策略与方法了，继续摆出 1C 的结论： 一直向树的上方跳，令目前的答案为 \(x\)，另一棵子树的大小是 \(a\)， 则 \(x\gets x+\min\{x,a\}\)。

考虑使用数据结构优化这个过程。

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\(O(n\log n\log |V|)\)

将 $\min $ 分开， \(x \gets 2x (x < a) \ , \ x\gets x+a(x\geq a)\)，发现前面那种情况 \(x\) 会倍增，所以最多发生 \(\log V\) 次，需要特殊处理，其它都是直接加上。

dfs 整棵树的时候用数据结构维护这个操作序列：

\(a_1\dots a_n\)， 我们需要找到第一个下标 \(p>i\) 满足

\[(x+\sum_{j=i+1}^{p-1} a_j) < a_p \]

即

\[a_p-\sum_{j=1}^{p-1} a_j> x-\sum_{j=1}^i a_j \]

使用线段树维护左边的值，需要支持区间加，二分。

可以在线段树上二分单次 \(O(\log n)\) 解决，总复杂度是 \(O(n\log n\log |V|)\)，可以过 \(10^5\)。

线段树可以维护 “区间加，区间最值”，也可以维护“单点修改，前缀和最值” 。

基于后一种可并的信息 ， 可以用倍增维护向上 \(2^k\) 跳层中不会触发翻倍的最大值，可以做到小常数的 \(O(n\log n\log |V|)\)，场上很多人都卡过去了 \(10^6\)。

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\(O(n\log |V|)\)

跳 \(\log\) 次的复杂度是扔不掉了，考虑优化跳的过程：

倍增时很多路径段本身是整体的 ，但是被拆成了很多个路径段，每个路径都被拆成了 \(\log\) 个，是不优秀的，考虑把这个跳的整段性展现出来，用一种类似并查集路径压缩的思想 ：

最初每个点的父亲是自己，如果它一定不会触发父亲的翻倍就把它和父亲压缩到一起，这样每一步都会跳到某段较长的一定不会触发翻倍的段的顶端。

具体实现：

对于每个点维护这个不触发倍增较长段的阈值 \(l\)，顶端 \(t\)，跳到顶端后需要加的值 \(a\)，加入一个新的点后，如果 \(l+a\geq l_t\)，也就是说不触发这个段一定就不会触发上面的段，所以直接连向它上面段的断顶，继续直到段顶满足 \(l+a < l_t\)。

每经过一个这样的段， \(l\) 的值至少翻倍（\(l+a\geq2l\)），所以最多经过 \(\log |V|\) 个这样的段，直接跳就行了，复杂度 \(O(n\log |V|)\)。

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部分代码：

struct element {
int limit , addtion , target ;
};
vector< element > Q ;
void dfs(int x) {
if(!x) return ;
int p = (int) Q.size( ) - 1 ;
ans[x] = siz[x] ;
int cnt = 0 ;
while(p > 0) {
auto [limit,addtion,target] = Q[p] ;
++cnt ;
if(ans[x] >= limit) {
ans[x] += addtion ;
p = target ;
continue;
}
ans[x] <<= 1;
p -- ;
}
if(son[x][0])
{
if(son[x][1]) {
auto nw = (element) {siz[son[x][1]],siz[son[x][1]],(int) Q.size( ) - 1} ;
while(nw.limit+nw.addtion >= Q[nw.target].limit) nw.addtion += Q[nw.target].addtion , nw.target = Q[nw.target].target ;
Q.push_back(nw);
}
dfs(son[x][0]) ;
if(son[x][1]) Q.pop_back ( ) ;
}
if(son[x][1]) {
if(son[x][0]) {
auto nw = (element) {siz[son[x][0]],siz[son[x][0]],(int) Q.size( ) - 1} ;
while(nw.limit+nw.addtion >= Q[nw.target].limit) nw.addtion += Q[nw.target].addtion , nw.target = Q[nw.target].target ;
Q.push_back(nw);
}
dfs(son[x][1]) ;
if(son[x][0]) Q.pop_back ( ) ;
}
}

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于 1 月 25 日排在最优解第二。

完整代码

收录于《超级无敌神仙炫酷无敌原神大王好题》 。