神仙图论题

神仙题，考察了较多图论知识，关于连通性，边双的结论，缩树，妙用并查集，离线，线段树等知识，《难度适中》，是一道很好的题！

题意

给出一个无向图，边有权值，对于每个点，求出起点到它所有坤皇路径的权值权值的最小值。

坤皇路径的定义：经过每条边至多一次，可以多次经过同一个点。

权值：路径上的 \(\max + \min\)

\(n,m\leq 3\times 10^5\)。

思路与部分分

\(\max\) 怎么做 ？

考虑从小到大加入每条边，使用启发式合并维护连通块，在每一个连通块被联通时更新答案。思维类似归程那个题。

时间复杂度 \(O(m(\log m+\log n))\) 。

怎么才给 9 分？ 怎么才给 9 分？怎么才给 9 分？

\(\min\) 怎么做 ？

枚举 \(\min\) ， 现在变成了点 \(u\) 到 点 \(v\) 是否存在一条经过边 \(e\) 的坤皇路径，这个问题有一个结论：

在边双连通分量 \(S\) 内，任意两点 \(u,v\) 之间必然存在一条 \(u\to v\) 的路径经过边双内的任意一条其他边 \(e\) 。

所以边双缩树，1 能经过某条边到达的边双内的点都满足条件。

我最开始在这里想了很久并试图只加入 \(\geq \min\) 的边动态维护边双啥的，靠判断连通性，但是对后面的做法是没有帮助的，在这个时候没有必要转化为可行性问题。 直接把 \(\min\) 看作权值，那么一个边双的权值就是所有里面的边的 \(\min\) ，树上到根的路径的 \(\min\) 即可直接求出。

这也启发着我们 把“全都满足”看作只加入某些边合法，把“存在满足”看作权值，当作最优性问题去解决，不一定都要放到时间轴上出现。

时间复杂度 \(O(m(\log m+\log n))\) 。

怎么才给 15 分？ 怎么才给 15 分？怎么才给 15 分？

\(\min+\max\) 怎么做？

\(O(m^2)\)

考虑像前面维护 \(\max\) 的方式从小到大加入每一条边，像前面维护 \(min\) 的方式一样维护权值，每加入一条边后重新维护边双树的结构，更新权值和答案，就可以做到 \(O(m^2)\) 。

还是有差不多 30 分吧，洗洗睡了。

\(O(n^2)\)

发现这棵边双树的结构总共只会发生至多 \(O(2n)\) 次改变，其中 \(O(n)\) 次是因为连通性的改变，\(O(n)\) 次是因为边双形态的改变 ，即缩了树上的一个环，若连边的两个端点已经处于同一个边双里了，就不用再更新任何东西了。

\(O((n+m)\log n+m \log m)\)

考虑刚刚那个动态的过程是不好在线维护的，我们先建出最终的连通性树：显然是最小生成树，然后中途加入的边改变的连通性是可以维护的，使用启发式合并维护。 接下来我们要维护的是边双的合并：在树上加一条边产生的合并边双显然是 \(u - LCA- v\) 路径上的所有点被合并到一个边双里，产生新的权值，这种变化是可以使用并查集在树上维护的，（并查集常常用于维护这种在树上或者序列上每个点只会被删除/修改一次的问题），同时维护边双的连通关系，将边双挂在并查集的顶端。

关于答案的统计：

每个点在第一次与点 \(1\) 在原图意义上联通后暴力更新这片子树的答案，同最开始做 \(\max\) 的那样，时间复杂度显然正确，为了知道每个被更新的位置的最值，需要拿一棵区间取 \(\min\) 的线段树维护到根路径的 \(\min\)。

当一堆点被合并为一个边双后，若 \(\min\) 是这个边双中的某条边，\(\max\) 为现在的时间点，那么对这个点子树中的已经联通的位置进行答案的更新，仅用考虑 \(\min\) 是这个边双中的情况，其它情况在 \(\max\) 更小的时候已经被考虑过了，用一个区间取 \(\min\) ， 单点修改的线段树维护就可以了，在连通后覆盖掉之前没用的权值就行。

时间复杂度 \(O((n+m)\log n+m \log m)\) 常数大，但是通过 \(3\times 10^5\) 还是很轻松的。

代码，但是为啥别人都跑进了500ms啊