题解（公开） - 随笔分类(第2页) - 寂静的海底

摘要：很奇怪的题，好像见过类似的套路但完全想不到。和同学讨论了好久…… 考虑直接求出每个点能到达的形状显然是不太能低于

O (n m)

$O(nm)$ 的，这个询问的信息一定有所隐含。将原图的互相到达关系形容为一个有向图，那么可以到达点数最少的集合一定是将这个有向图强连通分量缩点后，某些出度为

0

$0$ 的强连通分量中的

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【题解】CF1866K 树的直径李超线段树凸包

摘要：简单题。新树的直径一定经过了翻倍的点或者为原树的直径。先使用换根求出每个点子树内以及子树外最远点的距离，然后接下来对于一个询问的点，我们关心每个儿子内及这个子树的补树内最远的点距离加上这条边翻倍后的长度的最大值和次大值。假设某个子树内最远点为

f_{v}

$f_v$ ，到该子树的边的长度为

w_{v}

$w_v$ ，那么

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【题解】gym104396G | 贪心性质分析

摘要：Problem 一步一步做出来的。很有意思。考虑

C = 0

$C =0$ （弱化版）。我们的目的是为了经过所有题目给出的边一次，考虑构造一个这样的图：考虑每段相邻两个点之间被经过次数，从左到右和从右到左的次数是相同的，需要将少的一者的次数补至多者的次数，这同时也是答案的下界，答案不可能小于该值（过去了肯定

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【题解】P9499 dp凸优化复杂度分析

摘要：很典但也很妙的题。首先有一个显然暴力的 dp：从前往后一个一个换，记录目前剩的货币的数量，

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 目前换完第换完第

i

$i$ 种货币，保留了

j

$j$ 张，可以赚到多少钱，转移如下：兑换货币： $$ f_{i,\lfloor\frac{j}{x_{i-1}}\rfloor+c_i}={f

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【题解】CF1856E2 背包复杂度分析压位

摘要：此处假设读者已经通过 E1，会

O (n^{2})

$O(n^2)$ 地解决本问题：在每一个点时做的操作就是“把儿子大小构成的数集合分成差尽可能小的两部分”。接下来来解决 E2：首先一个观察就是单个问题“把儿子大小构成的数集合分成差尽可能小的两部分”是一个

\sum s i z_{i} \leq n

$\sum siz_i \leq n$ 的背包可行性问题

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【题解】P4694 费用流线段树模拟费用流

摘要：费用流建模显然。

s \to i (1, a_{i}), i \to i + 1 (+ \infty, 0), i \to t (1, b_{i})

$s\to i (1,a_i),i\to i+1(+\infty,0),i\to t(1,b_i)$ ，流量为

k

$k$ 的最小费用。因为决策都在一条链上，增广路的形态较少，考虑模拟费用流。每一次增广一定选择了一对

(a_{i}, b_{j})

$(a_i,b_j)$ 其中

i \leq j

$i\leq j$ 或 $i > j

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【题解】 CF1086F 分析插值扫描线

摘要：首先观察这个时间巨大无比，所以考虑基于离散的东西去统计它。让

f (x)

$f(x)$ 表示时间

x

$x$ 的燃烧区域大小。则可以先求出最后的燃烧区域大小

s

$s$ ，答案为

s \times (t + 1) - \sum_{x = 0}^{t} f (x)

$s\times(t+1)-\sum_{x=0}^{t} f(x)$ 。考虑只有一个块形态没有发生改变的块的一段时间内怎么统计。对于一

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【题解】CF1842G dp 拆式子数学

摘要：令第

i

$i$ 次操作的位置为

p o s_{i}

$pos_i$ ，则要求下式的期望：

\prod_{i \in [1, n]} (a_{i} + v \sum_{j \in [1, m]} [p o s_{j} \leq i])

$\prod_{i\in[1,n]}(a_i+v\sum_{j\in[1,m]}[pos_j\leq i])$ 拆式子，因为乘法分配律，每个括号里选一项的乘积对所有方案求和。现在这个括号要么选

a_{i}

$a_i$ ，要么选一个 $v

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【题解】ABC301F | 计数

摘要：不需要 dp，

O (n | S |)

$O(n|S|)$ 。枚举出现的第一个 DD 的位置。并计算后面没有 oS 的方案数。如果我们钦定 DD 后面的 D 出现在

i

$i$ 位置，我们只需要知道前面“?” 的个数和大写字母的个数，就可以算出。前面不出现重复的大写字母，且出现过一个和这个字母相同的字母的方案数。形如

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【题解】P5359 dp优化复杂度分析

摘要：一个可以做到线性的办法。给你一个

2 \times n

$2\times n$ 的网格图，有些点已经被着色，求这个图的

c

$c$ 染色方案数。

n, c \leq 10^{4}

$n,c\leq 10^4$

n, c \leq 10^{5}

$n,c\leq 10^5$

n, c \leq 10^{7}

$n,c\leq 10^7$ 考虑只有一行怎么做？

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示点

i

$i$ 颜色为

j

$j$ 的方案数。把

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【题解】P9339 霍尔定理性质 dp优化

摘要：upd:2023/9/20 补充了基于霍尔婚配定理的证明。首先观察前面两档部分分，很显然——第一档直接背包，第二档给我们一个思想就是基于桶去找饼干，直接贪心地选数量尽可能多的饼干种类就行，正确性显然。也就是说我们找到一组确定的尽可能少的桶后直接贪心地选择饼干就行了。接下来问题是如何找到一组合

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【题解】CF1798F 结论数学简单dp

摘要：结论题，算是被 *2500 打爆了。 EGZ 定理：对于

2 n - 1

$2n-1$ 个数，我们一定能选出

n

$n$ 个，使得其和是

n

$n$ 的倍数。这个定理告诉我们，只要一个班的人数不大于目前没有分配的包数的一半，那么一定存在一种方式使得这个班能够分配到

s

$s$ 袋和为

s

$s$ 倍数的糖果。考虑只让这样的班

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【题解】CF1808E3 容斥二项式反演式子

摘要：whk 的时候想到的

O (\log k)

$O(\log k)$ 做法，很带劲，建议加强到

10^{18}

$10^{18}$ 。考虑因为不好计算具体是哪个元素满足

2 x \equiv S (\mod k)

$2x\equiv S \pmod k$ ，所以考虑统计全都不满足的序列然后减去。

k = 1

$k=1$ 或

n = 1

$n=1$ 时问题平凡，后文假设

k > 1, n > 1

$k > 1,n>1$ 。 $\te

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P3549 MUL-Multidrink 解题报告

摘要：想被紧紧地抱住。

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【题解】at_tenka1_2014_final_d 组合数前缀和的维护

摘要：为啥这题解区一片莫队？？很多时候需要用到多次查询组合数前缀和的话还是在线比较方便吧。令

f (n, m) = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i})

$f(n,m)=\sum_{i=0}^m \binom n i$ 显然有

f (n, m) = f (n, m - 1) + (\binom{n}{m})

$f(n,m)=f(n,m-1)+\binom n m$ ，考虑竖推， $$ \begin{aligned} f(n-1,m)&

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Uoj228 基础数据结构练习题

摘要：发了一上午呆。

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【题解】P7565 | 线段树分治信息维护

摘要：来讲个有点异类，不用点分治的单

\log

$\log$ 做法。在我的博客查看。首先我们观察发现在奇数的时候答案是

1

$1$ ，偶数的时候答案才有可能不是

1

$1$ ，分析一下为什么是这样：这种问题一般考虑边的贡献，对于一条边，假设它的一侧有

x

$x$ 个人，另一侧有

i - x

$i-x$ 个人，则我们可以通过把集合地点定在

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[JOISC 2021 Day3] ビーバーの会合 2

摘要：睡了一上午。

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【题解】「清华集训2014」主旋律

摘要：颓了一上午.

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【题解】P6295 带标号 DAG 计数 | 容斥多项式

摘要：在我的博客查看。带标号弱连通 DAG 计数前言: 前段时间做到了一个无向图边定向的题，就一直没搞懂其中的容斥，今天终于弄懂了。题意：对弱连通带标号的简单 DAG 计数，

n \leq 10^{5}

$n\leq10^5$ 。 “弱连通”这个限制可以表示为“集和”，任意 DAG 可以视作“集族”，所以二者的 EGF 满足关系

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寂静的海底

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