火柴排队题解

$1.$ 题目关键点

这道题其实就是一道求 逆序对 的题

那为什么是求逆序对呢？

我们来分析一下题目：

题目要求交换完以后要 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - b_{i})^{2}$ 最小

拆分得

\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - b_{i})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} ({a_{i}}^{2} + {b_{i}}^{2} - 2 a_{i} b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} ({a_{i}}^{2} + {b_{i}}^{2}) - 2 \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} b_{i})

因为 ${a_{i}}^{2} + {b_{i}}^{2}$ 是固定的，所以最小值就在 $a_{i} b_{i}$ 上，即 $a_{i}, b_{i}$ 越大，代数式的值就越小

那当 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} b_{i})$ 最大时，便是本题最优解

那如何取最大值？

这里先给出一个策略（证明放在后面）：

对于数列 $p_{1} \sim p_{n}, q_{1} \sim q_{n}$ ，

max {\sum_{i = 1}^{n} (p_{i} q_{i})} = \sum_{i = 1}^{n} (p_{i} q_{i}) (p_{1} \leq p_{2} \leq p_{3} . . . p_{n - 1} \leq p_{n}, q_{1} \leq q_{2} \leq q_{3} \leq . . . q_{n - 1} \leq q_{n})

或者上面公式中 $p, q$ 按降序排列也行。

其实上面公式中所表示的含义就是 顺序之乘 $\geq$ 乱序之乘

接下来证明一下 ~~如果有人直接想看代码可以跳过（bushi~~

$1.$ 设升序数列 $p_{1} \sim p_{n}, q_{1} \sim q_{n}$ 其中 $0 < p_{1} < p_{2}, 0 < q_{1} < q_{2}$

$2.$ 推论过程，先给出一个结论：

$p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2} > p_{1} q_{2} + p_{2} q_{1}$
$3.$ 证明这个结论：

$移项，得 p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2} - p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1} > 0$
$合并同类项，得 p_{1} (q_{1} - q_{2}) + p_{2} (q_{2} - q_{1}) > 0$
$转换，得 p_{1} (q_{1} - q_{2}) - p_{2} (q_{1} - q_{2}) > 0$
$再合并同类项，得 (p_{1} - p_{2}) (q_{1} - q_{2}) > 0$
$∵ p_{1} < p_{2}, q_{1} < q_{2} ∴ p_{1} - p_{2} < 0, q_{1} - q_{2} < 0$
$∴ (p_{1} - p_{2}) (q_{1} - q_{2}) > 0$
$由 (p_{1} - p_{2}) (q_{1} - q_{2}) > 0 向上推，最终得出$
$p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2} > p_{1} q_{2} + p_{2} q_{1}$
因此该公式成立

$4.$ 推广该结论到整个数列中，乱序之乘就相当于不断将交换顺序打乱的过程，最终符合该结论的标准，最终得出 顺序之乘 $\geq$ 乱序之乘，证毕

那么，证明好这个结论，我们继续往下看

由题目要 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} b_{i})$ 最大，我们由上面的公式推导可以想出：先给 $a, b$ 分别从小到大排序，让 $a$ 中第一小的数对 $b$ 中第一小的数，让 $a$ 中第二小的数对 $b$ 中第二小的数……以此类推

那最小距离就出来了，可是我们怎么求出最小交换次数呢？

我们举一个例子 ~~其实就是样例1~~：

 4
2 3 1 4
3 2 1 4

我们由样列知， $a$ 数组为 $a = {2, 3, 1, 4}$ ， $b$ 数组为 $b = {3, 2, 1, 4}$

对两个数组分别从小到大排序，得

信息 $∖$ 数组	$a$	$b$
排序过后的值	${1, 2, 3, 4}$	${1, 2, 3, 4}$
该数组中该值对应的原数组的编号	${3, 1, 2, 4}$	${3, 2, 1, 4}$

我们来依次处理一下：

首先看 $a_{1}$ 的编号与 $b_{1}$ 的编号，都是 $3$ ，因此不用管

再来看一下 $a_{2}$ 的编号与 $b_{2}$ 的编号， $a_{2}$ 编号是 $1$ ， $b_{2}$ 编号是 $2$ ，是一个逆序对，不符合“相同排名一一对应”的原则

这里，产生了不符合原则的数对，所以我们可以另外定义一个数组 $m a$ ，以进行演算。这也是本程序的核心

我们看一下 $m a$ 如何工作的：

首先，设 $m a_{b_{i} 的编号} = a_{i} 的编号$

还是以上面的样例为例，操作是这样的：

$m a_{b_{1} 的编号} = a_{1} 的编号 \to m a_{3} = 3$

$m a_{b_{2} 的编号} = a_{2} 的编号 \to m a_{2} = 1$

$m a_{b_{3} 的编号} = a_{3} 的编号 \to m a_{1} = 2$

$m a_{b_{4} 的编号} = a_{4} 的编号 \to m a_{4} = 4$

所以 $m a = {2, 1, 3, 4}$ ，逆序对个数为 $1$ （交换 $m a_{1}$ 与 $m a_{2}$ ）

看，这就是排序的魅力！

为什么上述操作能够实现？

因为产生了逆序：只要原序列中的 $a_{i}$ 与 $b_{i}$ 的排名是一一对应的，那么排序以后两个数的 相对位置不变，因此不会产生逆序；而如果不是一一对应的，排完序两个数的 相对位置就会发生变化，因而产生逆序对

求逆序对有多种方法：冒泡、归并、树状数组等

这里由于 ~~本蒟蒻太菜，只会冒泡和归并~~，冒泡又会超时，所以用归并写的

如果不知道归并或想用树状数组写可以自行 ~~出门右转~~ 百度

好了，那么思路就推导完了，接下来如果读者已经懂了可以自己尝试写一下

~~如果还想看代码，也可以往后面看（bushi~~

$2.$ 代码实现

本部分将分步骤写成

$2.1$ 定义与模板

这部分比较简单，代码里有注释

 //#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize(2)
 
//上方是O(2)与O(3)的优化，如果超时可以尝试开一下（但是本程序不会）
//要注意的是，上方代码不可以再洛谷取消注释后提交，不然会CE（别问我怎么知道的）
 
#include<bits/stdc++.h>//万能头
using namespace std;//命名空间
const int mod=99999997;//按题目定义的模数
int n,ans=0;//ans指最少要交换几次
struct match{//定义结构体match（火柴）
	int high,id;//high指火柴高度，id指火柴排序后在原来数列的编号
	inline bool operator < (const match &temp)//重载运算符，不会的自己百度
		const{return high<temp.high;}//按照高度从小到大排序
}a[100009],b[100009];
int ma[100009],temp[100009];//ma的定义在上文，temp是对ma归并排序时的临时数组
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0); //玄学的cin,cout优化
	return 0;
}

$2.2$ 预处理

预处理包含输入、离散化、排序、初始化好 $m a$ 数组的值

 //#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=99999997;
int n,ans=0;
struct match{
	int high,id;
	inline bool operator < (const match &temp)
		const{return high<temp.high;}
}a[100009],b[100009];
int ma[100009],temp[100009];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0); 
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].high,a[i].id=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i].high,b[i].id=i;//输入，由于数据太大，需要离散化
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);//对火柴排序
	for(int i=1;i<=n;i++) ma[b[i].id]=a[i].id;//ma的用法上问所示
	return 0;
}

$2.3$ 归并排序求逆序对及输出

归并排序……都写到 $蓝题$ 就不用我讲了吧……

不过如果想知道归并排序可以看看这些

只是模板罢了

 //#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=99999997;
int n,ans=0;
struct match{
	int high,id;
	inline bool operator < (const match &temp)
		const{return high<temp.high;}
}a[100009],b[100009];
int ma[100009],temp[100009];
inline void Sort(int l,int r)//归并排序模板，我就不多说了
{
	if(l>=r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	Sort(l,mid),Sort(mid+1,r);
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(ma[i]<=ma[j]) temp[k++]=ma[i++];
		else temp[k++]=ma[j++],ans+=(mid-i+1)%mod,ans%=mod;
	}
	while(i<=mid) temp[k++]=ma[i++];
	while(j<=r) temp[k++]=ma[j++];
	for(int point=l;point<=r;point++) ma[point]=temp[point];
	return;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0); 
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].high,a[i].id=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i].high,b[i].id=i;
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) ma[b[i].id]=a[i].id;
	Sort(1,n);//对ma进行归并
	cout<<ans;//输出，不需要我讲了吧
	return 0;
}

$2.4$ 最终无注释高清代码

这个我就不放在这里了吧，毕竟前面已经演示过很多次了

想知道的可以看这里

$3.$ 总结

知识点：不等式、归并求逆序对、离散化等

题目涉及知识点不难，只是要慢慢细心地推，发现求逆序对的本质

$THE END$

posted @ 2022-08-24 17:50 DreamerX 阅读(85) 评论(0) 编辑收藏举报

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	int n,ans=0;//ans指最少要交换几次
	struct match{//定义结构体match（火柴）
	int high,id;//high指火柴高度，id指火柴排序后在原来数列的编号
	inline bool operator < (const match &temp)//重载运算符，不会的自己百度
	const{return high<temp.high;}//按照高度从小到大排序
	}a[100009],b[100009];
	int ma[100009],temp[100009];//ma的定义在上文，temp是对ma归并排序时的临时数组
	int main()
	{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0); //玄学的cin,cout优化
	return 0;
	}

	//#pragma GCC optimize(3)
	//#pragma GCC optimize(2)
	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int mod=99999997;
	int n,ans=0;
	struct match{
	int high,id;
	inline bool operator < (const match &temp)
	const{return high<temp.high;}
	}a[100009],b[100009];
	int ma[100009],temp[100009];
	int main()
	{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].high,a[i].id=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i].high,b[i].id=i;//输入，由于数据太大，需要离散化
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);//对火柴排序
	for(int i=1;i<=n;i++) ma[b[i].id]=a[i].id;//ma的用法上问所示
	return 0;
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