表达式 题解

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零、写在前面

$\mathtt{\text{洛谷の题目链接}}$ 与 $\mathtt{\text{Topsの题目链接}}$ 以及 $\mathtt{\text{Hydroの题目链接}}$

这道题是 $\mathtt{\text{CSP-2020}}$ 普及组的 第三题 ，但个人认为比第四题还要恶心

当时考场上这道题没写出来，现在发现这道题的算法和思想其实是 结论和模拟

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一、思路

首先考虑最关键的询问：因为每个询问都要修改一个数，每次在线修改太过复杂，时间也会承受不了，所以我们考虑先把答案算出来，对于每个数判断它对答案的影响（因为答案只属于 $0$ 和 $1$ 中 任意一个，所以我们只需要判断改变这个数会不会让答案取非）

大意就是判断一个变量对答案有没有影响，比如 1 | x = 1 和 0 & x = 0 中 $x$ 就对答案没有任何影响，而 1 & x 和 0 | x 中的 $x$ 对答案就有关键的影响。根据上面四个例子也可以推出 !x 中 $x$ 对答案有关键影响

大体方向考虑好以后，我们考虑程序的流程

首先输入了一行后缀表达式，我们要解出这道题目肯定要把这个表达式解析出来，这里我们考虑利用栈来建立 表达式树 以处理这个后缀表达式（不清楚 表达式树 的看 这里 或自行在百度、B站等网站上搜索）

然后我们对树上的每个变量都打上一个 $0$ 或 $1$ 的标记，分类考虑操作符的种类：

1. 与操作符 &：对于 & 来说，如果一棵子树结果是 $0$，就给另一棵子树打上标记 $1$，代表 另一棵子树的结果不会对答案造成影响，是个可有可无的东西（如果不是就打上标记 $0$）
2. 或操作符 |：对于 | 来说，如果一棵子树结果是 $1$，就给另一棵子树打上标记 $1$，代表 另一棵子树的结果不会对答案造成影响（如果不是就打上标记 $0$）
3. 非操作符 !：对于 ! 来说，由于 ! 一定会对当前变量或表达式产生反转的结果，所以我们利用 德·摩根定律，下传标记让该节点及其子树全部反转（其实可以不用反转子树的）

最后我们先计算出该表达式原有的答案 $ans$，再根据每个询问找到变量的标记，判断该标记是不是 $1$

如果是，就直接输出 ans，如果不是，就输出 !ans

$ACCode:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt,ans,Q;
int val[1000009],tra[1000009],pl[1000009];
pair<int,int>tree[1000009];
string str;
inline int take(int &p)
{
	p++;
	int res=0;
	while(str[p]!=' ') res*=10,res+=str[p++]-48;
	p--;
	return res;
}
inline void work(stack<int>& res,int& now,int vv)
{
	int t1,t2;
	t1=res.top(),res.pop(),t2=res.top(),res.pop(),res.push(++now);
	val[cnt]=vv,tree[cnt]=make_pair(t1,t2);//建立表达式树
	return;
}
inline void expr()
{
	cnt=n;
	stack<int>st;
	while(!st.empty()) st.pop();//用栈来建立表达式树
	for(int i=0;i<str.size();i+=2)
		switch(str[i])
		{
			case 'x':
				st.push(take(i));//处理以 i 为起点的数字并压入栈中
				break;
			case '&':
				work(st,cnt,2);//按上文说的处理运算符
				break;
			case '|':
				work(st,cnt,3);//同理
				break;
			case '!':
				tra[st.top()]^=1;//把该结点的标记反转
				break;
		}
	return;
}
inline int dfs(int u,int tp)
{
	val[u]^=tp;
	if(u<=n) return val[u];
	pair<int,int>res=make_pair(dfs(tree[u].first,tp^tra[tree[u].first]),
							   dfs(tree[u].second,tp^tra[tree[u].second]));
	if(val[u]==2)
	{
		if(!res.first) pl[tree[u].second]=1;
		if(!res.second) pl[tree[u].first]=1;//同时打标记
		return res.first&res.second;
	}
	else
	{
		if(res.first==1) pl[tree[u].second]=1;
		if(res.second==1) pl[tree[u].first]=1;
		return res.first|res.second;
	}
}
inline void push_down(int u)
{
	if(u<=n) return;
	pl[tree[u].first]|=pl[u],pl[tree[u].second]|=pl[u];
	push_down(tree[u].first),push_down(tree[u].second);
	return;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);//cin,cout 优化
	getline(cin,str);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>val[i];//输入
	expr();//建立表达式树
	ans=dfs(cnt,tra[cnt]);//计算表达式的值
	push_down(cnt);//标记从根节点开始下放
	cin>>Q;
	while(Q--)
	{
		int u;
		cin>>u;
		if(pl[u]) cout<<ans;//如果对答案没影响就直接输出 ans
		else cout<<!ans;//不然就输出 !ans
		cout<<endl;//记得换行
	}
	return 0;
} 

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$$THEEND$$