AtCoder Regular Contest 113

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A（暴力）

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⭐⭐

题目：
给出$K$，求出满足$A\times B\times C\le K$的$(A,B,C)$对数

解析：
将C移动到等式右边，得到$A\times B\le\frac{K}{C}$，对于$t=\lfloor\frac{K}{C}\rfloor$,统计$t$向下整除$1\sim t$的和即为结果

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*===========================================*/

int main() {
	int k;
	LL result = 0;
	scanf("%d", &k);
	for (int i = 1; i <= k; ++i) {
		int end = k / i;
		for (int j = 1; j <= end; ++j)
			result += k / i / j;
	}
	printf("%lld", result);
}

 

B（思维）

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⭐⭐

题目：
求出$A^{B^C}$的个位数字

解析：
不难得到以下循环

1. 1 1 1 1 1 ...（1）
2. 2 4 8 6 2 ...（4）
3. 3 9 7 1 3 ...（4）
4. 4 6 4 6 4 ...（2）
5. 5 5 5 5 5 ...（1）
6. 6 6 6 6 6 ...（1）
7. 7 9 3 1 7 ...（4）
8. 8 4 2 6 8 ...（4）
9. 9 1 9 1 9 ...（2）
10. 0 0 0 0 0 ...（1）

• 对于循环长度为1，则直接输出本身
• 循环长度为2，则考虑$B$奇偶性（奇数的幂还是奇数，偶数的幂还是偶数）
• 循环长度为4分$B$的奇偶讨论
  • 如果$B$为奇数且模4为1，则他的幂模4还是1，否则模值在3 1循环
  • 如果为偶数则一定含有2，如果能被4整除则幂数模4一定是0，否则看2（因子）的出现次数，即幂数是否大于1，比1大模值为0，比一小模值1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*===========================================*/

map<int, map<int, int>> m;
int main() {
	int a, b, c;
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	m[4][0] = 4, m[4][1] = 6;
	m[9][0] = 9, m[9][1] = 1;
	m[2][0] = 2, m[2][1] = 4, m[2][2] = 8, m[2][3] = 6;
	m[3][0] = 3, m[3][1] = 9, m[3][2] = 7, m[3][3] = 1;
	m[8][0] = 8, m[8][1] = 4, m[8][2] = 2, m[8][3] = 6;
	m[7][0] = 7, m[7][1] = 9, m[7][2] = 3, m[7][3] = 1;
	a %= 10;
	if (a == 0 || a == 1 || a == 5 || a == 6)
		printf("%d", a);
	else if (a == 4 || a == 9)
		printf("%d", m[a][b % 2 == 0]);
	else {
		if (b & 1) {
			if (b % 4 == 1)
				printf("%d", m[a][0]);
			else {
				if (c & 1)
					printf("%d", m[a][2]);
				else
					printf("%d", m[a][0]);
			}
		}
		else {
			if (b % 4 == 0)
				printf("%d", m[a][3]);
			else {
				if (c >= 2)
					printf("%d", m[a][3]);
				else
					printf("%d", m[a][1]);
			}
		}
	}
}

 

C（贪心）

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⭐⭐

题目：
给出一个字符串，以及操作：如果$s_i=s_{i+1}\ne s_{i+2}$，则将$s_{i+2}$替换成$s_i$，询问最多操作次数

解析：
那如果又两个连续的字符$c$，则后序字符肯定能都变成$c$，那么可以考虑从后向前进行替换，这样可以保证最大次数
如此则需要从前向后统计第一次出现的某字符$c$与下一个和他不一样的连续字符$c'$之间存在多少个$c$（这些字符不可以被操作需要从答案中减去），后序字符都可以被替换，因为操作时从后向前，后序字符均会被替换成$c'$

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
/*===========================================*/

const int maxn = 2e5 + 5;
char str[maxn];

int main() {
	scanf("%s", str);
	int len = strlen(str);
	char last = 1;
	int lpos = -1;
	LL ret = 0;
	for (int i = 0; i <= len; ++i) {
		if (str[i] == str[i + 1] && str[i] != last)
		{
			if (~lpos)
				ret += 1LL * len - lpos;
			lpos = i;
			last = str[i];
		}
		if (str[i] == last)
			--ret;
	}
	printf("%lld", ret + 1);
}

 

D（排列组合+快速幂）

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⭐⭐⭐

题目：
给出$n,m,k$，规定$A_i$为第$i$行最小的数字，$B_i$为第$i$行最大的数字，则有多少种序列的可能性（答案取模998244353）

解析：

1. 要保证$A$中的最大值一定得小于等于$B$中最小值，因为假设A中最大值对应位置为$(i,j)$，则在第$j$列的最大值要大于等于$i$不可能小于$i$
2. 所以可以枚举$i$，即$pow(i,n)\times pow(k+1-i,m)$，但是这样的话对于左边（或者右边）可能出现包含重复的情况，所以一定要保证$i$在$A$或者$B$序列中至少出现1次

$$\sum_{i=1}^k(i^n-(i-1)^n)*(k-i+1)^m \ \%mod$$

注意：
考虑$n==1||m==1$的特殊情况

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;
LL pw(LL n, int x) {
	LL ret = 1;
	LL t = n;
	while (x) {
		if (x & 1) ret = ret * t % mod;
		t = t * t % mod;
		x >>= 1;
	}
	return ret;
}

int main() {
	int n, m, k;
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	if (n == 1)
		printf("%lld", pw(k, m));
	else if (m == 1)
		printf("%lld", pw(k, n));
	else {
		LL ret = 0;
		for (int i = 1; i <= k; ++i)
			ret = ((pw(i, n) - pw(i - 1, n) + mod) % mod * pw(k + 1 - i, m) % mod + ret) % mod;
		printf("%lld", ret);
	}
}