HDU2138 随机素数测试 Miller-Rabin算法

题目描述

  Give you a lot of positive integers, just to find out how many prime numbers there are..

  In each case, there is an integer N representing the number of integers to find. Each integer won’t exceed 32-bit signed integer, and each of them won’t be less than 2.

  32-bit signed intege,最普通的肯定要超时,筛选法要超内存,开小的话就越界。

miller_rabin算法 

一.费马小定里

if n is prime and gcd(a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)

费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.

前3个Carmichael数是561,1105,1729。

Carmichael数是非常少的。

在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数。

为此又有二次探测定理,以确保该数为素数:

二.二次探测定理

二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:

0、先计算出m、j,使得n-1=m*2^j,其中m是正奇数,j是非负整数

1、随机取一个b,2<=b

2、计算v=b^m mod n

3、如果v==1,通过测试,返回

4、令i=1

5、如果v=n-1,通过测试,返回

6、如果i==j,非素数,结束

7、v=v^2 mod n,i=i+1

8、循环到5

说明:

Miller-Rabin是随机算法

得到的结果的正确率为75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为1-(1/4)^s

代码

#include<stdio.h>
#include
<stdlib.h>
#include
<cmath>
bool witness(__int64 a,__int64 n)
{
__int64 t,d,x;
d
=1;
int i=ceil(log(n-1.0)/log(2.0)) - 1;
for(;i>=0;i--)
{
x
=d; d=(d*d)%n;
if(d==1 && x!=1 && x!=n-1) return true;
if( ((n-1) & (1<<i)) > 0)
d
=(d*a)%n;
}
return d==1? false : true;
}
bool miller_rabin(__int64 n)
{
if(n==2) return true;
if(n==1 || ((n&1)==0)) return false;
for(int i=0;i<50;i++){
__int64 a
=rand()*(n-2)/RAND_MAX +1;
if(witness(a, n)) return false;
}
return true;
}
int main()
{
int n,cnt;
__int64 a;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
cnt
=0;
while(n--)
{
scanf(
"%I64d",&a);
if(miller_rabin(a))
cnt
++;
}
printf(
"%d\n",cnt);
}
return 0;
}

 

上面代码参考的是吉林大学2003年的模板,在杭电上109MS A掉。下面是网上31MS代码的miller_rabin函数,其它部分与上述代码一致。

我们发现,它只调用witness函数3次,每次都a为2,7,61,正确率显然没上面高,到时间倒挺快啊^_^

bool miller_rabin(__int64 n)
{
int s[]={2,7,61};
if(n==2) return true;
if(n==1 || ((n&1)==0)) return false;
for(int i=0;i<3;i++)
if(witness(s[i], n)) return false;
return true;
}

 

posted @ 2010-09-07 15:47  孟起  阅读(5033)  评论(0编辑  收藏  举报