HDU1695 GCD 欧拉函数+容斥原理
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题意：已知给定k,x,y求 1<=a<=x 1<=b<=y 中满足 gcd(a,b)=k 的(a,b)对数。（注意数对是无序的）。 1<=x,y<=1e5, 0<=k<=1e5
用到了欧拉函数,素因子分解,筛选法,组合数学上的容斥原理等,不失为一道好题!!!
大体思路：
有一个小小的变形:在[1...b/k]中选x,在[1....d/k]中选y,使gcd(x,y)=k,求不重复的对数
我们让d>=b; 然后在[1....d/k]进行枚举,对于每一个i,我们只要在1...min(i-1,b)中找到与i互质数,记录个数,然后累加就得到结果了
当i<=b/k时,我们可以直接用欧拉函数计算出与i互质的个数 (当然要先进行因子分解,才能求欧拉函数)
当b/k<i<=d/k时,就比较难求了,我们用b/k减去与i不互质的数的个数得到,求与i不互质的数的个数时就用到容斥原理,设i的素因子分别的p1,p2...pk,则1..b/k中p1的倍数组成集合A1,p2的倍数组成集合A2,p3到A3.....pk到Ak, 由于集合中会出现重复的元素, 所以用容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数.
容斥原理的具体如下：
如果i因子个数num[i]为0，即i为素数，则区间中与i不互质的个数是0
否则，区间中与i不互质的个数 = （区间中i的每个质因数的倍数个数）-（区间中i的每两个质因数乘积的倍数）+（区间中i的每3个质因数的乘积的倍数个数）-（区间中i的每4个质因数的乘积）+...
于是问题变成了统计每个数的不同质因数的个数而忽略次数。这个可以用筛法。具体做法如下：
对每个数保存一个真质因数的列表。初始每个列表的长度为0。然后从2开始，分别检查每个数的列表长度，如果列表长度不为0，则这个数是合数，跳过；如果这个长度为0，则我们找到了一个质数，同时再把这个数的倍数（不包含本身）的列表里加入这个数。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int Max=100005;
__int64 elur[Max];//存放每个数的欧拉函数值
int num[Max];//存放数的素因子个数
int p[Max][20];//存放数的素因子
void init()//筛选法得到数的素因子及每个数的欧拉函数值
{
elur[1]=1;
for(int i=2;i<Max;i++)
{
if(!elur[i])
{
for(int j=i;j<Max;j+=i)
{
if(!elur[j])
elur[j]=j;
elur[j]=elur[j]*(i-1)/i;
p[j][num[j]++]=i;
}
}
elur[i]+=elur[i-1]; //进行累加（法里数列长度）
}
}
int dfs(int idx,int b,int now)//求不大于b的数中,与now不互质的数的个数;
{ //dfs()写的容斥原理
int ans=0;
for(int i=idx;i<num[now];i++)//容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数.
ans += b/p[now][i]-dfs(i+1,b/p[now][i],now);
return ans;
}
int main()
{
int t,a,b,c,d,k;
init();
scanf("%d",&t);
for(int ca=1;ca<=t;ca++)
{
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
printf("Case %d: ",ca);
if(k==0)
{
printf("0\n");
continue;
}
if(b>d)
swap(b,d);
b/=k; d/=k;
__int64 ans=elur[b];
for(int i=b+1;i<=d;i++)
ans+=b-dfs(0,b,i);//求不大于b的数中,与i不互质的数的个数
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
这算是一道比较复杂的数论题了,参照了大牛的代码....没办法自己没有能力想出来。
参博地址：http://blog.csdn.net/shiren_Bod/archive/2010/08/04/5787722.aspx
