51nod 1020 逆序排列 递推DP
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
如2 4 3 1中,2 1,4 3,4 1,3 1是逆序,逆序数是4。
1-n的全排列中,逆序数最小为0(正序),最大为n*(n-1) / 2(倒序)
给出2个数n和k,求1-n的全排列中,逆序数为k的排列有多少种?
例如:n = 4 k = 3。
1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个,分别是:
1 4 3 2
2 3 4 1
2 4 1 3
3 1 4 2
3 2 1 4
4 1 2 3
由于逆序排列的数量非常大,因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。
Input
第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 10000) 第2 - T + 1行:每行2个数n,k。中间用空格分隔。(2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)
Output
共T行,对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)
Input示例
1 4 3
Output示例
6
设f(n,k)表示n个数的排列中逆序数个数为k的排列数。
最大的数n可能会排在第n-i位,从而产生i个与n有关的逆序对,去掉n之后,剩下的n-1个数的排列有k-i个逆序对。所以,f(n,k)=求和(f(n-1,k-i))(0<=i<n)。
同理有f(n,k-1)=求和(f(n-1,k-1-i))(0<=i<n)。
两式相减,可得f(n,k)-f(n,k-1)=f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。
递推公式为f(n,k)=f(n,k-1)+f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。
然后动态规划可得。
#include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXK = 2e4+5; const int MAXN = 1e3+5; const int mod = 1e9+7; #define min(a,b) (a<b)?a:b int n,k,dp[MAXN][MAXK]; // dp[n,k] = dp[n,k-1] + dp[n-1,k] - dp[n-1,k-n]; int getMod(ll t) { if(t >= mod) return t-mod; if(t<0) return t+mod; return t; } void init() { int i,j; for(i=2;i<=1000;i++) { dp[i][0]=1; for(j=1;j<=i*(i-1)/2&&j<=20000;j++) { ll tmp=0; ll tmp1=dp[i][j-1]; ll tmp2=dp[i-1][j]; ll tmp3=(j>=i)?dp[i-1][j-i]:0; tmp = tmp1+tmp2-tmp3; dp[i][j] = getMod(tmp); } } } int main () { init(); int T; scanf("%d",&T); while (T--){ scanf("%d %d",&n,&k); printf("%d\n",dp[n][k]); } return 0; }