数学-素数筛及其拓展
以前写筛法都这么写:
埃拉托斯尼斯筛法
1 void getprime(int n) 2 { 3 for(int i=2;i<=n;i++) 4 if(!v[i]) 5 { 6 prime[ptot++]=v[i]; 7 for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) 8 v[j]=true; 9 } 10 }
复杂度O(nlglgn).
实测n=1kW耗时0.18s ; n=1E耗时2.24s.
然后这里是欧拉线性筛
1 void getprime(int n) 2 { 3 for(int i=2;i<=n;i++) 4 { 5 if(!v[i]) prime[ptot++]=i; 6 int k; 7 for(int j=0;j<ptot && ((k=i*prime[j])<=n);j++) 8 { 9 v[k]=true; 10 if(i%prime[j]==0) break; 11 } 12 } 13 }
复杂度O(n).
实测n=1kW耗时0.1s,n=1E耗时1.02s.
看得出,尽管有乘除操作,但是线性筛在十万以上的n,速度就已经超越了普通筛法.
所以在n<=20W的范围上可以直接用埃拉托斯尼斯筛法,更大的话就用线性筛加速.
证明大概是说明两点,一是所有合数都被标记了,二是所有数最多被标记一次.证明就不多说了.....
然后,就是素数筛求积性函数.用这个做法是因为线性筛把所有数的最小素因子求出来了.
比如求莫比乌斯函数....
1 void getmou(int n) 2 { 3 mou[1]=1; 4 for(int i=2;i<=n;i++) 5 { 6 if(!v[i]) prime[ptot++]=i,mou[i]=-1; 7 int k; 8 for(int j=0;j<ptot && ((k=i*prime[j])<=n);j++) 9 { 10 v[k]=true; 11 mou[k]=-mou[i]; 12 if(i%prime[j]==0) 13 { 14 mou[k]=0; 15 break; 16 } 17 } 18 } 19 }
大概意思是,这样的:
首先素数的函数值就是-1.
然后,我们在筛合数的时候,是i*prime[j]的形式,而prime[j]是i*prime[j]的最小素因子.
如果这个合数不存在平方因子,那么根据莫比乌斯函数的定义,mou[i*prime[j]]=-mou[i];
如果这个合数存在平方因子,那么 mou[i*prime[j]]=0;
至于直接写mou[k]=-mou[i],是因为如果
1.i本身就有平方因子了,那么明显mou[i]=0,于是mou[k]=0=-mou[i];
2.i在乘上prime[j]后才出现平方因子,这说明prime[j]是平方因子,prime[j]整除i,
所以要对prime[j]整除i的情况特判,让mou[i*prime[j]]=0.
线性筛还能快速求欧拉函数表.
1 void geteular(int n) 2 { 3 eu[1]=1; 4 for(int i=2;i<=n;i++) 5 { 6 if(!v[i]) prime[ptot++]=i,eu[i]=i-1; 7 int k; 8 for(int j=0;j<ptot && (k=i*prime[j])<=n ; j++) 9 { 10 v[k]=true; 11 eu[k]=eu[i]*(prime[j]-(i%prime[j]!=0)); 12 if(i%prime[j]==0) break; 13 } 14 } 15 }
根据欧拉函数的公式$$\phi(n)= \prod_{i=1}^{m}{p_i^{a_i-1}(p_i-1)} = \prod_{p|n}p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p}) $$
可以推出递推式
eu[i*prime[j]]=eu[i]*(prime[j]-(i%prime[j]!=0));
求因数个数函数表(叫做τ(n)或者σ0(n))
1 void gen(int n) 2 { 3 cnt[1]=fct[1]=1; 4 for(int i=2;i<=n;i++) 5 { 6 if(v[i]==false) prime[ptot++]=i,cnt[i]=2,fct[i]=1; 7 int k; 8 for(int j=0;j<ptot && (k=i*prime[j])<=n; j++) 9 { 10 v[k]=true; 11 if(i%prime[j]==0) 12 { 13 fct[k]=fct[i]+1; 14 cnt[k]=cnt[i]/(fct[i]+1)*(fct[i]+2); 15 break; 16 } 17 fct[k]=1; 18 cnt[k]=cnt[i]*2; 19 } 20 } 21 }
为了根据公式$$ \tau(n)=\sum{(a_1+1)(a_2+1)...(a_p+1)}, \\ n=2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}7^{a_4}...P^{a_p} $$计算出它的值,需要额外开一个数组fct存储"i的因数分解中,i的最小质因数有多少次幂".然后根据上边套式子.......
式中求结果的函数也可以写成
cnt[k]=cnt[i]+cnt[i]/(fct[i]+1);
