背包问题

START:

2021-08-08

08:39:54

 

问题一：01背包问题

相关问题链接：

https://www.acwing.com/problem/content/2/

问题详情：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

这就是背包问题，我们先用最朴素的方法，针对每个物品是否放入背包进行搜索。具体实现如下：
//输入
int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N];
//从第i个物品开始挑选总重小于j的部分
int rec(int i,int j)
{
  int res;
  if(i==n)//已经没有剩余物品了
    res=0;
  else if(j<w[i])//无法挑选这个物品
    res=rec(i+1,j);
  else //挑选和不挑选的两种情况都尝试一下
     res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i]+v[i]) ;

  return res;
}   

void solve(){
  printf("%d\n",rec(0,W));
}

只不过这种方法的搜索深度是n，而且每一层的搜索都需要两次分支，时间复杂度是O(2n)，当n比较大时就超时了，为了优化算法，我们找出函数递归调用的路径：

 

 

 我们可以看到，在调用函数rec(0,5)的时候，在第三层调用中调用了两次rec(3,2)，所以除第一次调用参数相同的函数，其他调用都是重复了，白白浪费了计算时间，所以使用记忆化搜索。

 

int dp[MAX_N+1][MAX_W+1];//记忆化数组
int rec(int i,int j)
{
  if(dp[i][j]>0)return dp[i][j];
  int res;
  if(i==n){
    res=0;    
  }else if(j<w[i])res=rec(i+1,j);
  else res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i]+v[i]));
  //将结果记录在数组中0
  return dp[i][j]=res;
}    
void solve(){
  memset(dp,-1,sizeof dp);
  printf("%d\n",rec(0,W));
}

对于同样的参数，只会在第一次被调用的时候会执行递归部分，第二次之后都会直接返回。参数的组合不超过nW种，所以时间复杂度是O(nW)。

 

接下来我们来研究一下前面算法用到的记忆化数组，定义dp[i][j]:从第i个物品开始挑选总重小于j时，总价值的最大值。所以我们有：

 



 怎么推导的呢，我们看：


如果下一个物品的体积大于j，那么下一个物品一定不能加入背包，所以dp[i][j]=dp[i-1][j]  (j<w[i])


如果下一个物品的体积小于j，那么可以加入，我们取dp[i-1][j]和dp[i-1][j-w[i]]+v[i]的最大值就行


所以01背包问题核心代码就是这个，具体实现：




void solve(){
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=0;j<=V;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[N][V]<<endl;
}





这是二维的01背包，也可以压缩成一维数组做，我们看核心代码：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])


我们可以看出所有的第i层的dp都是用第i-1层来计算的。


所以我们将一维坐标全部删掉得到




void solve(){
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=0;j<=V;j++)
        {
            dp[j]=dp[j];
            if(j>=v[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
}




但是上述标红的地方，我们先化简一下：




void solve(){
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
}





关于这个标红的地方，我们很明显得看出，j的顺序变了，如果不变的话，核心代码(dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])中的最后一个式子：dp[j-v[i]]+w[i]，如果我们从小到大遍历j的话，因为j-v[i]一定小于j，所以dp[j-v[i]]在更新dp[j]之前就被更新了，但是我们更新dp[j]需要的是上一层的数据，但是dp[j-v[i]]已经是更新为第i层的了，所以我们从大到小遍历，那么更新dp[j]的时候dp[j-v[i]]还没有被更新。


 


 


问题二：完全背包问题


相关题目链接：


https://www.acwing.com/problem/content/3/


题目详情：


有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。


第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。


求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。


输入格式


第一行两个整数  N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。


接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。


输出格式


输出一个整数，表示最大价值。


数据范围


0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000


输入样例


4 5
1 2
2 4
3 4
4 5



输出样例：


10


分析：


完全背包问题不同于01背包问题，在完全背包问题中，同一件物品可以选择多件，我们试着写出递推关系：


令dp[i][j]:从前i种物品中挑选总量不超过j时总价值的最大值。那么递推关系为：


dp[0][j]=0


dp[i][j]=max{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i] | 0<=k}


我们尝试编写这个递推关系求解的程序：




int dp[MAX_N+1][MAX_W+1];
void solve(){
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=w;j++)
      for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
}





　　


这样的程序形成了三层循环，时间复杂度为O(nW2)，这样并不够好。


我们这样看，我们最后求得的dp[i][j]是dp[i-1][j]和dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]求最大值，我们来看dp[i][j]:


dp[i][j]=max{ dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]  | 0<=k }


      ==>max(dp[i-1][j],max{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i] |1<=k} )


      ==>max(dp[i-1][j],max{dp[i-1][(j-w[i])-k*w[i]+ k*v[i] | 0<=k }+v[i] )


      ==>max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i])


所以我们可以优化第三个for循环，不需要关于k的循环辣！


具体实现：




void solve(){
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=W;j++){
      dp[i][j]=dp[i-1][j];
      if(j>=w[i])dp[i][j]=max( dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i] );
    }
  printf("%d\n",dp[n][W]);
}




 


问题三：多重背包问题I


相关题目链接：


https://www.acwing.com/problem/content/4/


题目详情：


有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。


第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。


求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。


输入格式


第一行两个整数   N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。


接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。


输出格式


输出一个整数，表示最大价值。


数据范围


0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100


输入样例


4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2



输出样例：


10

多重背包问题相对于01背包和完全背包，它能选取的物品的数量是有限的，储存在数组s[N]中,
其实多重背包问题的思路和完全背包是完全一样的，就是最后一个判断条件改动一下：




void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
        }
   }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
}







　　


问题四：多重背包问题II


相关问题链接：


https://www.acwing.com/problem/content/5/


题目详情：


 


有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。


 


第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。


 


求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。


 


输入格式


 


第一行两个整数   N，V  用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。


 


接下来有 N 行，每行三个整数   vi,wi,si   用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。


 


输出格式


 


输出一个整数，表示最大价值。


 


数据范围


 


0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000


 


提示：


 


本题考查多重背包的二进制优化方法。


 


输入样例


 


4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2



 


输出样例：


 


10


 


多重背包问题II是问题I的升级版，就是加强了数据，使得原来的三层循环时间复杂度太高，需要进行优化。


怎么优化nie~


我们可以将所有的背包打包成新的背包，使得任取几个新背包都能取到原来背包都能取得的范围，然后使用01背包求解。


比如我们有4种物品，每种物品都有500个，那么我们将每种物品分别打包，例如第一种物品的新背包：




 


 


 如图，我们将500个背包分别打包1个，2个，4个，8个，16个，32个，64个，128个（！到这时，还剩下245个背包），245个。


我们如果需要100个第一种的物品，就拿分别装着64个，32个，4个物品的新背包，这样就将原来拿取背包的O(N）的时间复杂度变成了logN。


当然，我们需要一个新的背包的编号，就用cnt来计数，分别满1,2,4,8,16.......以及不满2k 的剩下的背包数。


所以我们在读入数据的同时更新新背包的信息。


 




#include<iostream>
using namespace std;
const int N=25000;
int v[N],w[N],s[N];
int dp[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s){
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k=k*2;
        }
        if(s>0){
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    return 0;
}





 


最后我们使用01背包的结构解题：




#include<iostream>
using namespace std;
const int N=25000;
int v[N],w[N],s[N];
int dp[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s){
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k=k*2;
        }
        if(s>0){
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    n=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}





　　


问题五：分组背包问题：


相关问题链接：


https://www.acwing.com/problem/content/9/


问题详情：


 


有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。


 


每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是  vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。


 


求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。


 


输出最大价值。


 


输入格式


 


第一行有两个整数  N，V  用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。


 


接下来有 N 组数据：


 


    

  • 每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
    • 

  • 每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
    • 









 


输出格式


 


输出一个整数，表示最大价值。


 


数据范围


 


0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100


 


输入样例


 


3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5



 


输出样例：


 


8


 


分析：


分组背包问题要考虑的是每一组选哪一个物品的问题，数据较小所以可以枚举。


 




void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<s[i];k++){
                if(v[i][k]<=j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}





 


 


再加上处理输入的基本架构，完整代码：




#include<iostream>
using namespace std;
const int N=110;
int s[N],v[N][N],w[N][N];
int dp[N]; 
int n,m;
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<s[i];k++){
                if(v[i][k]<=j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}
int main()
{
  
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++)
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
    }
    solve();
    return 0;
}





　　


END:


2021-08-08


16:04:12


 


 


 






	
posted on 
2021-08-08 16:05 
Dragon昴 
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