2021 年 7 月 7 日提高组模拟赛题解

A : 最大子段和

题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\) ，从这个序列中选出不相交的两个连续段，要求它们的和最大，请你求出这个最大的和。具体的，你需要给出 \(A,B,C,D\) ，满足 \(1 \leq A\leq B < C \leq D\) ，并且最大化下面的式子：

\[\sum_{i=A}^B a_i +\sum_{i=C}^D a_i \]

\(1 \leq n \leq 10^5 ,1 \leq |a_i| \leq 10^5\) 。

Solution

考虑枚举分界点 \(k\) ，使得所选的区间 \([A,B]\) 在 \(k\) 的左边（可以包含 \(k\) ，即 \(B \leq k\)），所选的区间 \([C,D]\) 在 \(k\) 的右边（不能包含 \(k\) ，即 \(C>k\)），因为分成的这两部分完全独立，所以可以分别求出这两部分的最大子段和，即可求出以 \(k\) 分界的最大子段和。

另 \(k\gets1,2 \dots n-1\) ，求出所有 \(k\) 的最大值即可。

至于求最大子段和，可以用 DP 分别预处理前缀最大子段和和后缀最大子段和。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\) 。

B : 序列

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，初始值全部为 \(0\) ， \(m\) 次操作，每次操作有 \(4\) 个参数 \(l,r,s,e\) ，表示将区间 \([l,r]\) 加上一个首项为 \(s\) ，末项为 \(e\) 的等差数列。

求出操作完成之后数列的每一项，为了避免输出过多，你只需要输出数列的异或和。

\(1 \leq n ,m \leq 5 \times 10^5,2s\)，保证任何时候输入和数列的数在 long long 范围内。

Solution

把原序列差分，设差分之后的数组为 \(b\) ，在区间 \(l,r\) 加上一个首项为 \(s\) ，末项为 \(e\) ，公差为 \(d\) 的等差数列，可以发现： \(b_l\gets b_l+s,b_{r+1}\gets b_{r+1}-e\) ，同时对于 \(l+1\leq i \leq r - 1\)，\(b_i \gets b_i+d\) 。

于是把差分数组再次差分，即可 \(\mathcal{O}(1)\) 实现区间加。举个例子，设再次差分的数组为 \(f\) ，在区间 \(l,r\) 加上一个首项为 \(s\) ，末项为 \(e\) ，公差为 \(d\) 的等差数列，\(f\) 的变化为：

\[f_l\gets f_l+s \\ f_{l+1}\gets f_{l+1}-s+d \\ f_{r+1}\gets f_{r+1}-e \\ f_{r+2}\gets f_{r+2}+e \\ f_r\gets f_r-d \]

最后对再次差分的 \(f\) 数组做两次前缀和，即可得到原数组。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\) 。

C : 柠檬

给定 \(n\) 个集合，第 \(i\) 个集合初始只包含元素 \(i\)，开始时所有元素的权值为 \(0\) ，有 \(m\) 次操作：

• 合并元素 \(x\) 所在的集合和元素 \(y\) 所在的集合。
• 令 \(x\) 所在集合的所有元素的权值加上 \(k\)。

操作完后输出所有元素的权值。

\(1 \leq n ,m\leq 5 \times 10^5,1 \leq k \leq 100\)。

Solution1

考虑线段树合并。用并查集维护每一个元素所对应的树根是哪个。对于合并操作，直接合并两个元素所对应的线段树。

对于整个集合加上一个数的操作，直接对于整个子树打上一个标记即可。记得在合并和查询的时候下方标记。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。

Solution2

把每个集合看成是一棵树，那么所有集合构成了森林。

对于合并操作，建立一个虚点 \(p\) ，令 \(x\) 所在子树的根节点和 \(y\) 所在子树的根节点的父亲都指向 \(p\) 。

对于整个集合加上一个数的操作，直接在这个子树的根节点打上一个标记即可。

最后从每一棵数的根节点开始 DFS ，自顶向下累加标记，当访问到元素 \(x\) 时，累加的标记就是 \(x\) 的值。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。