题解 P3332 [ZJOI2013]K大数查询
题解 P3332 [ZJOI2013]K大数查询
题目描述
你需要维护 \(n\) 个可重整数集，集合的编号从 \(1\) 到 \(n\)。
这些集合初始都是空集，有 \(m\) 个操作：
1 l r c：表示将 \(c\) 加入到编号在 \([l,r]\) 内的集合中2 l r c：表示查询编号在 \([l,r]\) 内的集合的并集中，第 \(c\) 大的数是多少。
\(1 \leq n ,m \leq 10^5 ,1 \leq c \leq 2^{63}\) 。
Solution
发现插入，查询 \(k\) 大，考虑线段树套平衡树。
但是发现 \(n ,m \leq 10^5\) ，并且区间插入并不好打懒标记，比较麻烦。
并且因为平衡树极其优秀的常数，很容易 TLE 。
所以考虑转换思路：我们用权值线段树套动态开店线段树。
权值线段树维护所有权值，里面那一层线段树维护所有权值在下标内出现的次数。
对于 1 操作，我们先在外层线段树找到权值为 \(c\) 的节点，然后在经过的所有节点对应的内层线段树上让区间 \([l,r]\) 加上一，表示这些位置多了一个数。
对于 2 操作，假如我们当前在权值线段树上的节点是 \(now\) 。我们可以看一下 \(now\) 的右儿子落在下标 \([l,r]\) 范围内有几个数（就是在右儿子对应的里层线段树中查询 \([l,r]\) 的和）。如果个数 \(\geq c\) ，那么 \(c\) 大一定在右子树里，递归右儿子处理。
否则 \(c\) 大在左儿子的子树里，递归左子树。注意递归左子树的时候需要将 \(c\) 减掉右儿子 \([l,r]\) 内的数的个数（就像平衡树查排名对应的值一样）。
另外，注意到 \(c \leq 2^{63}\) ，所以我们要先读进所有的操作，然后把所有插入的数放在一起离散化。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
int num = 0 ,f = 1; char c = getchar();
while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f ,c = getchar();
while (isdigit(c)) num = (num << 1) + (num << 3) + (c ^ 48) ,c = getchar();
return num * f;
}
inline int min(int a ,int b) {return a < b ? a : b;}
inline int max(int a ,int b) {return a > b ? a : b;}
inline void swap(int &a ,int &b) {int t = a; a = b; b = t;}
const int N = 5e4 + 5;
struct Segment1 { //区间加，区间求和的动态开点线段树
struct node {
int l ,r ,sum ,add;
node (int l = 0 ,int r = 0 ,int sum = 0 ,int add = 0) :
l(l) ,r(r) ,sum(sum) ,add(add) {}
}t[N * 17 * 17]; int tot; //空间记得开够
Segment1() : tot(0) {}
inline void update(int &now) {
t[now].sum = t[t[now].l].sum + t[t[now].r].sum;
}
inline void puttag(int &now ,int l ,int r ,int k) {
if (!now) now = ++tot; //千万不要写成了 return ;
t[now].sum += k * (r - l + 1);
t[now].add += k;
}
inline void pushdown(int &now ,int l ,int r) {
if (t[now].add == 0) return ;
int mid = (l + r) >> 1;
puttag(t[now].l ,l ,mid ,t[now].add);
puttag(t[now].r ,mid + 1 ,r ,t[now].add);
t[now].add = 0;
}
inline void modify(int &now ,int l ,int r ,int ql ,int qr ,int k) {
if (!now) now = ++tot; //没有创建记得创建
if (ql <= l && r <= qr) {
puttag(now ,l ,r ,k);
return ;
}
pushdown(now ,l ,r);
int mid = (l + r) >> 1;
if (ql <= mid) modify(t[now].l ,l ,mid ,ql ,qr ,k);
if (qr > mid) modify(t[now].r ,mid + 1 ,r ,ql ,qr ,k);
update(now);
}
inline int query(int &now ,int l ,int r ,int ql ,int qr) {
if (!now) now = ++tot;
if (ql <= l && r <= qr) return t[now].sum;
pushdown(now ,l ,r);
int mid = (l + r) >> 1 ,ans = 0;
if (ql <= mid) ans += query(t[now].l ,l ,mid ,ql ,qr);
if (qr > mid) ans += query(t[now].r ,mid + 1 ,r ,ql ,qr);
return ans;
}
}u;
int n;
struct Segment {
int t[N << 2];
Segment () {memset(t ,0 ,sizeof(t));}
inline void join(int now ,int l ,int r ,int ql ,int qr ,int k) {
u.modify(t[now] ,1 ,n ,ql ,qr ,1);
if (l == r) return ;
int mid = (l + r) >> 1;
if (k <= mid) join(now << 1 ,l ,mid ,ql ,qr ,k);
else join(now << 1 | 1 ,mid + 1 ,r ,ql ,qr ,k);
}
inline int query(int now ,int l ,int r ,int ql ,int qr ,int k) {
if (l == r) return l;
int mid = (l + r) >> 1 ,res = u.query(t[now << 1 | 1] ,1 ,n ,ql ,qr);
if (res >= k) return query(now << 1 | 1 ,mid + 1 ,r ,ql ,qr ,k);
return query(now << 1 ,l ,mid ,ql ,qr ,k - res); //这里是 k - res ,不要写成了 k
}
}t;
int m ,nums[N] ,tot;
inline int find(int val) {
return lower_bound(nums + 1 ,nums + tot + 1 ,val) - nums;
}
struct opts {
int opt ,l ,r ,k;
opts (int opt = 0 ,int l = 0 ,int r = 0 ,int k = 0) :
opt(opt) ,l(l) ,r(r) ,k(k) {}
}q[N];
signed main() {
n = read(); m = read();
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int opt = read() ,x = read() ,y = read() ,k = read();
q[i] = opts(opt ,x ,y ,k);
if (opt == 1) nums[++tot] = k;
}
sort(nums + 1 ,nums + tot + 1);
tot = unique(nums + 1 ,nums + tot + 1) - nums - 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (q[i].opt == 1) t.join(1 ,1 ,tot ,q[i].l ,q[i].r ,find(q[i].k));
else printf("%lld\n" ,nums[t.query(1 ,1 ,tot ,q[i].l ,q[i].r ,q[i].k)]);
}
return 0;
}
