题解 AcWing 1082. 数字游戏

题目描述

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定义不降数为从左到右各位数字呈非下降关系。

求 \([a,b]\) 之间有多少不降数。

\(1 \leq a \leq b \leq 2^{31} - 1\) 。

Solution

把询问差分，变为询问 \([1,n]\) 中不降数的个数。

首先，我们可以 \(dp\) 出 \(x\) 位且最高位为 \(y\) 的不降数的个数：

设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 位，且最高位为 \(j\) 的不降数的个数。

计算的时候可以枚举所有 \(\geq j\) 的数字 \(k\) ，让 \(f_{i,j} \to f_{i,j}+f_{i-1 ,k}\) ，也就是说：

\[f_{i,j} = \sum_{k=j}^9 f_{i-1,k} \]

然后把对于每次询问，我们可以先把 \(n\) 各位数字分离出来，下文中用第 \(i\) 位表示从右往左数第 \(i+1\) 个数字。

假设当前枚举到了第 \(i\) 位，且 \(n\) 的第 \(i\) 位是 \(x\) ，上一位填的是 \(last\) （如果没有上一位 \(last=0\) ）：

1. 最高位可以填 \(last \sim x-1\) ，此时对后面的填法没有影响，直接让答案加上：

   \[\sum_{j=last}^{x-1} f_{i+1,j} \]

   这里 \(i\) 加一是因为我们的数位是从 \(0\) 开始编号的。

2. 最高位填 \(x\) ，此时需要判断，如果 \(x < last\) ，那么不可能填 \(x\) ，直接返回答案即可。否则因为填了 \(x\) 下几位会有大小限制，所以要让 \(last\) 变成 \(x\) ，继续判断下一位；如果当前已经是最后一位，说明 \(n\) 是一个不下降数，让答案加一。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 15;
int f[N][N];
inline void init(int n) {
    for (int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            for (int k = j; k <= 9; k++)
                f[i][j] += f[i - 1][k];
}
inline int solve(int n) {
    if (n == 0) return 1; //0 也是不下降数
    vector <int> nums;
    int t = n;
    while (t) nums.push_back(t % 10) ,t /= 10;
    int last = 0 ,ans = 0;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
        int x = nums[i];
        for (int j = last; j < x; j++)
            ans += f[i + 1][j];
        if (last > x) break;
        last = x;
        if (i == 0) ans++;
    }
    return ans;
}
int l ,r;
signed main() {
    init(10);
    while (~scanf("%d%d" ,&l ,&r)) printf("%d\n" ,solve(r) - solve(l - 1));
    return 0;
}