题解 P2657 [SCOI2009] windy 数

题目描述

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定义 Windy 数为不含前导 \(0\) 且相邻两位数字的差大于等于 \(2\) 的数，求 \([l,r]\) 中有多少个 Windy 数。

\(1 \leq l,r \leq 2\times 10^9\) 。

Solution

首先把询问差分，变为求 \([1,n]\) 中有几个 Windy 数。

我们可以先 \(dp\) 出以 \(k\) 为最高位的 \(j\) 位 Windy 数：

设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 位的最高位是 \(k\) 的 Windy 数有几个，那么有状态转移方程：

\[f_{i,j} = \sum_{k=0}^9 f_{i-1,k} \times[|j - k| \geq 2] \]

先计算位数和 \(n\) 一样多的 Windy 数的个数：

从高位向低位枚举（设当前枚举到第 \(i\) 位，设当前这一位数字是 \(x\) ），然后对每一位数字分类讨论：

1. 当前这一位填 \(0\sim x - 1\) ，那么剩下的位怎么填都不会超出范围，我们就直接循环枚举

   \[ans \to ans + \sum_{k=0}^{x - 1} f_{i,k} \times [|last-k| \geq 2] \]

   \(ans\) 表示当前的答案， \(last\) 表示上一位（更高一位）数字。

2. 当前这一位填 \(x\) ，如果 \(|last-x| < 2\) ，那么不可能，直接退出循环，否则令 \(last \to x\) ，继续枚举。

3. 如果当前已经是最后一位了且 \(|last - x| \geq 2\) ，那么 \(n\) 就是一个答案，让 \(ans \to ans+1\) 。

当然，如果当前就是最高位， \(k\) 就不能从 \(0\) 开始枚举，得从 \(1\) 开始。

然后我们再处理所有位数小于 \(n\) 的位数的 Windy 数。由于位数都更少了，那肯定在 \([1,n]\) 中，可以任意填。

所以这一部分的答案就是：

\[\sum_{i=1}^{\log_{10}n} \sum_{j=1}^9 f_{i,j} \]

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 15;
int f[N][N];
inline int abs(int x) {return x < 0 ? -x : x;}
inline void init(int n) {
    for (int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                if (abs(j - k) >= 2)
                    f[i][j] += f[i - 1][k];
}
inline int solve(int n) {
    if (n == 0) return 0;
    vector <int> nums;
    int t = n;
    while (t) nums.push_back(t % 10) ,t /= 10;
    int last = -2 ,ans = 0;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
        int x = nums[i];
        for (int j = (i == (nums.size() - 1)); j < x; j++) //最高位从 1 开始枚举
            if (abs(j - last) >= 2)
                ans += f[i + 1][j];
        if (abs(last - x) >= 2) last = x;
        else break;
        if (i == 0) ans++;
    }
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
        for (int j = 1; j <= 9; j++)
            ans += f[i][j];
    return ans;
}
int l ,r;
signed main() {
    init(10);
    scanf("%d%d" ,&l ,&r);
    printf("%d\n" ,solve(r) - solve(l - 1));
    return 0;
}