【BZOJ】 1041: [HAOI2008]圆上的整点

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041

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${x^{2}+y^{2}=r^{2} }$

${\Rightarrow y^{2}=(r-x)(r+x)}$

令${d=gcd(r-x,r+x)}$

则${y^{2}=d^{2}*\frac{r+x}{d}*\frac{r-x}{d}}$

再令${A=\frac{r+x}{d}}$,${B=\frac{r-x}{d}}$

则${y^{2}=d^{2}*A*B}$

考虑${y^{2}}$是完全平方数，${d^{2}}$是完全平方数，又${gcd(A,B)=1}$那么${A,B}$都是完全平方数。

设${A=a^{2}}$,${B=b^{2}}$

${A+B=a^{2}+b^{2}}$

${\Rightarrow \frac{2*r}{d}=a^{2}+b^{2}}$

 

　　考虑枚举${\frac{2*r}{d}}$，这一步的复杂度是${O(\sqrt{r})}$的，然后再在${\left [ 1,\sqrt{2*\frac{r}{d}}/2 \right ]}$的范围内枚举${a}$，进而可以算出${A,b,B}$,然后判断${A,B}$是否互质，$B$是否为完全平方数，这样子就算出了第一象限的答案，然后将$ans*4+4$,算是统计了每一个象限的并且加上了坐标轴上的四个点。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define llg long long
#define maxn 100010
#define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
llg ans,n;
inline llg getint()
{
    llg w=0,q=0; char c=getchar();
    while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if (c=='-')  q=1, c=getchar(); while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar();
    return q ? -w : w;
}

void calc(llg d)
{
    for (llg a=1;a<=sqrt(d/2);a++)
    {
        llg A=a*a,B=d-A,b=sqrt(B);
        if (b*b==B && __gcd(A,B)==1 && A!=B) ans++;
    }
}

int main()
{
    yyj("circle");
    cin>>n;
    for (llg i=1;i<=sqrt(n*2);i++)
        if ((2*n%i)==0)
        {
            calc(i);
            calc(2*n/i);
        }
    cout<<ans*4+4;
    return 0;
}