【BZOJ】3142: [Hnoi2013]数列

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3142

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12年也有一个组合数学。。。(这几年的画风啊....

 

考虑直接去做：DP? DP+容斥？ 。。。。NAIVE！

 

设${a[i]}$表示第${i}$和第${i-1}$天股价差值。

那么对于任意一个可能$a$数组,它对答案的贡献为：${n-\sum a[i]}$

 

${ANS=数组A的个数*n-\sum a[i]}$

 

考虑这样的$a$数组可能有多少个？应该是：${m^{k-1}}$个,这样就计算完了减号左边。

 

考虑计算减号右边，其实相当于所有$a$数组中一共有${m^{k-1}*(k-1)}$个数字。

每一个${a[i]\in[1,m]}$,值域范围内的数字出现次数也应该一样。

每一个在${[l,r]}$的数字就出现了${m^{k-1}*(k-2)}$次。

在套一个等差数列求和公式${m^{k-1}*(k-2)*m(m+1)/2}$

 

最终：

$${ANS=n*m^{k-1}-m^{k-2}*(k-1)*m(m+1)/2}$$

 

套一个快速幂即可。

 

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 10010
#define llg long long 
#define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
llg n,m,k,p,ans;

llg ksm(llg a,llg b,llg md)
{
    if (b==0) return 1;
    llg mi=1;
    a%=md;
    while (b!=0)
    {
        if (b&1) mi*=a,mi%=md;
        a*=a; 
        a%=md;
        b/=2;
    }
    return mi;
}

int main()
{
    yyj("math");
    cin>>n>>k>>m>>p;
    n%=p;
    ans=ksm(m,k-1,p)*(n % p);
    ans%=p;
    ans-=((ksm(m,k-2,p)*(k-1)) % p)*(((m*m+m)/2) % p);
    ans%=p;
    while (ans<0) ans+=p;
    cout<<ans;
    return 0;
}