【BZOJ】3930: [CQOI2015]选数
题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930
求从${l~r}$中选$n$个数，最大公约数为$k$的方案数。
$gcd$?一开始就往莫比乌斯反演上面想，考虑一下如选两个数是什么样子的。
${\sum _{i=L}^{R}\sum _{j=L}^{R}\left [ gcd(i,j)=k \right ]}$
${=\sum _{i=\left \lfloor \frac{L}{K} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}\sum _{j=\left \lfloor \frac{L}{K} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}\left [ gcd(i,j)=1 \right ]}$
${=\sum _{i=\left \lfloor \frac{L}{K} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}\sum _{j=\left \lfloor \frac{L}{K} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}\sum _{d|gcd(i,j)}\mu(d)}$
${=\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}\mu (d)(\left \lfloor \frac{R}{Kd} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{L-1}{Kd} \right \rfloor)^{2}}$
同理的，如果是选$n$个数：
$${\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}\mu (d)(\left \lfloor \frac{R}{Kd} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{L-1}{Kd} \right \rfloor)^{n}}$$
接下来线性筛，分块直接算即可。
但是
MDZZ,${R-L<=1e5}$的这个条件没用到,嗯这个范围应该是个${log^{1e5}}$。
令$f[i]$表示$gcd=i$的方案数，${A\left \lceil \frac{L}{K} \right \rceil}$,${B=\left \lfloor \frac{R}{K} \right \rfloor}$。
转移为：$${f[i]=(r-l+1)^{n}-t-\sum _{i|j}f[j]}$$
枚举$i$,$j$,其中$j$是调和级数的意义，复杂度${O(nlog(R-L))}$
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<vector> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 #include<cstring> 8 using namespace std; 9 #define maxn 1001000 10 #define llg long long 11 #define mod 1000000007 12 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout); 13 llg n,m,f[maxn],L,R,k; 14 15 llg ksm(llg x,llg y) 16 { 17 llg ans=1; 18 while (y) 19 { 20 if (y&1) ans=ans*x%mod; 21 x=x*x%mod; 22 y>>=1; 23 } 24 return ans; 25 } 26 27 int main() 28 { 29 yyj("bzoj3930"); 30 cin>>n>>k>>L>>R; 31 for (llg i=R-L;i>=1;i--) 32 { 33 llg l=(L-1)/(k*i),r=R/(k*i); 34 f[i]=(ksm(r-l,n)-(r-l)+mod) %mod; 35 for (llg j=2;i*j<=R-L;j++) 36 { 37 f[i]=f[i]-f[i*j]+mod; 38 f[i]%=mod; 39 } 40 } 41 if (L<=k && k<=R) f[1]++; 42 cout<<f[1]; 43 return 0; 44 }
