解析数论之数论函数【其二】

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@Author : DorinXL（博客）

@Time : 2023/7/20 16:33

目录

• Chapter1 积性函数与狄利克雷乘积
• Chapter2 广义卷积
• Chapter3 形式幂级数和数论函数的贝尔级数
• Chapter4 数论函数的导数

Chapter1 积性函数与狄利克雷乘积

• Definition：

  • 有数论函数\(f\),如果\(f\)不恒为零，且对任意的\((m,n)=1\)有\(f(mn)=f(m)f(n)\)，那么这个数论函数\(f\)被称为是积性的。
  • 如果对于任意的\(m,n\)都有\(f(mn)=f(m)f(n)\)，那么这个数论函数\(f\)被称为是完全积性的。

• Examples:

  1. 令幂函数\(f_\alpha(n) = n^\alpha\),这里的\(\alpha\)是固定的实数或复数。这个函数是完全积性函数。\(u=f_0\)是完全积性的。

     \[\begin{align*} f_\alpha(mn) &= (mn)^\alpha \\ &=(m^\alpha)(n^\alpha) \\ &=f_\alpha(m)f_\alpha(n) \\ \end{align*} \]

  2. 恒等函数\(I(n)=[\dfrac{1}{n}]\)是完全积性的。

     \[I(mn) = [\dfrac{1}{mn}] =\begin{cases}1,&\text{if $m,n=1$} \\ 0,&\text{if $m>1 || n>1$}\end{cases} \]

     \[I(m)I(n) = [\dfrac{1}{m}][\dfrac{1}{n}] =\begin{cases}1,&\text{if $m,n=1$} \\ 0,&\text{if $m>1 || n>1$}\end{cases} \]

  3. 莫比乌斯函数\(\mu()\)是积性的但不是完全积性的.

     考虑两个互素的整数\(m,n\)。

     若\(m,n\)中任意一个的因子表示为\(p^\alpha,\alpha\ge2\),那么有

     \[\mu(mn)=\mu(m)\mu(n) = 0 \]

     若\(m,n\)中没有上述情况，那么可以将\(m,n\)表示为：

     \[m = p_1p_2 \cdots p_s \\ n = q_1q_2 \cdots q_t \\ \Downarrow \\ \mu(m) = (-1)^s \\ \mu(n) = (-1)^t \\ \mu(mn) = (-1)^{(s+t)} = \mu(m)\mu(n) \]

     这表明莫比乌斯函数\(\mu\)是积性函数。但其不是完全积性函数，因为：

     \[\mu(4)=0 \\ \mu(2)\mu(2) = 1 \]

  4. 欧拉函数\(\varphi()\)是积性函数但不是完全积性函数。

     是积性函数：由欧拉函数的性质可以得到：

     \[\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n) \]

     不是完全积性函数：

     \[\varphi(4) = 2\\ \varphi(2)\varphi(2) = 1 \]

  5. 如果\(f,g\)是积性函数/完全积性函数，那么\(fg,\dfrac{f}{g}\)也是积性函数/完全积性函数。

     以\(fg\)为例：

     \[\begin{align*} fg(mn) &= f(mn)g(mn) \\ &= f(m)f(n)g(m)g(n) \\ &= f(m)g(m)f(n)g(n) \\ &= fg(m)fg(n) \end{align*} \]

• Theorem:

  • Th1:如果\(f\)是积性的，那么\(f(1)=1\)

    Proof:

    对任意n，有\((n,1)=1\)，由积性函数的性质我们可以得到：\(f\)不恒为零，且有\(f(n)=f(1)f(n)\)，于是存在n，使\(f(n)\neq0,f(1)=1\)

  • Th2:给定\(f\)，且\(f(1)=1\)，那么：

    • \(f\)是积性的 \(\Longleftrightarrow\) \(f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r}) =f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_r^{\alpha_r})\)
    • 如果\(f\)是积性的，那么：\(f\)是完全积性的 \(\Longleftrightarrow\) \(f(p^\alpha) = f(p)^\alpha\)

    Proof：

    Th2.1: 如果\(f\)是积性的，显然\(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r}\)中的\(p_1^{\alpha_1},p_2^{\alpha_2},\cdots ,p_r^{\alpha_ r}\)这些数字都是互素的，那么根据积性函数的定义就有：

    \[f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r}) =f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_{r-1}^{\alpha_ {r-1}})f(p_r^{\alpha_r}) =f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_r^{\alpha_r}) \]

    反过来，我们有\(f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r}) =f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_r^{\alpha_r})\)，想证明\(f\)是积性函数， 我们取\((m,n)=1,m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r},n=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_t^{\beta_ t}\).

    \[\begin{align*} f(mn)&=f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r}q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_t^{\beta_ t})\\ &=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_r^{\alpha_r})f(q_1^{\beta_1})f(q_2^{\beta_2})\cdots f(q_r^{\beta_r})\\ &=f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r})f(q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_t^{\beta_ t})\\ &=f(m)f(n) \end{align*} \]

    Th2.2:如果\(f\)是完全积性的，那么

    \[f(p^\alpha) = f(p^{\alpha-1})f(p) = f(p)^\alpha \]

    反过来，我们有\(f\)是积性函数，\(f(p^\alpha) = f(p)^\alpha\),想证明\(f\)是完全积性函数，我们取整数\(m,n\ge1,m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r},n=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_t^{\beta_ t}.\alpha和\beta可能为0\)

    \[\begin{align*} f(m)f(n)&=f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_ r})f(p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_t^{\beta_ t})\\ &=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_r^{\alpha_r})f(p_1^{\beta_1})f(p_2^{\beta_2})\cdots f(p_r^{\beta_r})\\ &=f(p_1)^{\alpha_1}f(p_2)^{\alpha_2}\cdots f(p_r)^{\alpha_r}f(p_1)^{\beta_1}f(p_2)^{\beta_2}\cdots f(p_r)^{\beta_r}\\ &=f(p_1)^{\alpha_1+\beta_1}f(p_2)^{\alpha_2+\beta_2}\cdots f(p_r)^{\alpha_r+\beta_r}\\ &=f(p_1^{\alpha_1+\beta_1})f(p_2^{\alpha_2+\beta_2})\cdots f(p_r^{\alpha_r+\beta_r})\\ &=f(mn) \end{align*} \]

  • Th3:如果\(f\)和\(g\)是积性的，那么他们的狄利克雷卷积也是积性的。

    Proof:令\(h=f*g\)，选取互素的整数\(m,n\)，那么：

    \[h(mn) = \sum_{c|mn}f(c)g(\dfrac{mn}{c}) \]

    \(m,n\)的每一个因子c都可以写成\(c=ab\)的形式，其中\(a|m,b|n,(a,b)=1\)

    \[\begin{align*} h(m)h(n)&=f(m)g(m)f(n)g(n) \\ &=\sum_{a|m}f(a)g(\dfrac{m}{a})\sum_{b|n}f(b)g(\dfrac{n}{b}) \\ &=\sum_{a|m\\b|n}f(a)f(b)g(\dfrac{m}{a})g(\dfrac{n}{b}) \\ 根据整除的推论：\\ (m,n)=1,mn的因子可以唯一由\\ m的因子和n的因子的乘积表示 &=\sum_{ab|mn}f(ab)g(\dfrac{mn}{ab}) \\ &=h(mn) \end{align*} \]

    Node:两个完全积性函数的狄利克雷乘积不一定是完全积性的。

  • Th4：如果\(g\)和\(f*g\)都是积性的，那么\(f\)也是积性的。

    Proof：

    假设\(f\)不是积性的，那么我们如果推出\(f*g\)不是积性的，即可通过矛盾证明该结论。

    选择\((m,m)=1\)使得\(f(mn) \ne f(m)f(n)\)，让\(m,n\)尽量的小。

    如果\(mn=1\)，那么\(f(1) \ne f(1)f(1),f(1)\ne 1\)。因为\(h(1)=(f*g)(1)=f(1)g(1)=f(1)\ne 1\)，所以h不是积性函数。

    如果\(mn>1\)，选择\((a,b)=1,ab<mn\)，使得\(f(ab)=f(a)f(b)\)。

    \[\begin{align*} (f*g)(mn)&=\sum\limits_{a|m\\b|n\\ab<mn}f(ab)g(\dfrac{mn}{ab})+f(mn)g(1)\\ &=\sum_{a|m}f(a)g(\dfrac{m}{a})+\sum_{b|n}f(b)g(\dfrac{n}{b})-f(m)f(n)+f(mn)\\ &=(f*g)(m)(f*g)(n)-f(n)f(m)+f(mn) \end{align*} \]

    而\(f(mn)\ne f(m)f(n)\)，所以\(h(mn)\ne h(m)h(n)\)，\(h\)不是积性的。

  • Th5：如果\(g\)是积性的，那么它的狄利克雷逆\(g^{-1}\)也是积性的。

    我们知道\(g\)是积性的，而\(g*g^{-1}=I\)也是积性的，那么根据Th4我们得出Th5。

  • Th6：如果\(f\)是积性的，那么有：\(f\)是完全积性的 \(\Longleftrightarrow\) \(f^{-1}(n) = \mu(n)f(n)\),对所有的\(n\ge1\)

    Proof：

    证明\(\Rightarrow\):想通过“\(f\)是完全积性的”这一条件证明“\(f^{-1}(n) = \mu(n)f(n)\)”,我们设\(g(n)=\mu(n)f(n)\)

    \[\begin{align*} (g*f)(n)&=\sum_{d|n}\mu(d)f(d)f(\dfrac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}\mu(d)f(n)\\ &=f(n)\sum_{d|n}\mu(d)\\ &=f(n)I(n) \\ &=I(n) \end{align*} \]

    既然有\((g*f)=I\)，那么有\(f^{-1}(n) = \mu(n)f(n)\)

    证明\(\Leftarrow\)：想通过“\(f\)是积性的，且\(f^{-1}(n) = \mu(n)f(n)\)”这一条件证明“\(f\)是完全积性的”,我们只需要证出对所有素数\(p\)有\(f(p^\alpha)=f(p)^\alpha\)即可。

    \[\begin{align*} 我们有(f*f^{-1}&=I)\\ 那么\\ \sum_{d|n}f^{-1}(d)f(\dfrac{n}{d})&=0 \quad (n>1)\\ \sum_{d|n}\mu(d)f(d)f(\dfrac{n}{d})&=0\\ 取n=p^\alpha,有\\ \mu(1)f(1)f(p^\alpha)+\mu(p)f(p)f(p^{\alpha-1})+0&=0\\ f(p^\alpha)+(-1)f(p)f(p^{\alpha-1})&=0\\ f(p^\alpha)&=f(p)f(p^{\alpha-1}) \end{align*} \]

    从\(\alpha\ge2\)开始递推，\(f(p^2)=f(p)f(p),f(p^3)=f(p)f(p^2)=f(p)^3\)，所以我们证明出对所有素数\(p\)有\(f(p^\alpha)=f(p)^\alpha\)，即\(f\)是完全积性的。

  • Th7：如果\(f\)是积性的，那么有：\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(d)=\prod\limits_{p|n}(1-f(p))\)

    Proof：

    令\(g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(d)\)，\(g\)是积性的，利用算术基本定理，我们只需要计算\(g(p^\alpha)\)即可。

    \[\begin{align*} g(p^\alpha)&=\sum_{d|p^\alpha}\mu(d)f(d)\\ &=\mu(1)f(1)+\mu(p)f(p)+0+\cdots+0\\ &=f(1)-f(p)\\ &=1-f(p) \end{align*} \]

    所以对于由若干素数幂乘积组成的\(n\)，我们有

    \[g(n)=g(p_1^{\alpha1}p_2^{\alpha2}\cdots p_r^{\alpha r})=(1-f(p_1))(1-f(p_2))\cdots(1-f(p_r))=\prod_{p|n}(1-f(p)) \]

Chapter2 广义卷积

• Definition：\(F\)表示一个定义在正实轴\((0,\infty)\)上的实数函数，对\(0<x<1\),有\(F(x)=0\)。我们定义出一个新函数\(G\),表示为

  \[G = \sum_{n\le{x}}\alpha(n)F(\dfrac{x}{n}) \]

  其中，\(\alpha\)是任意数论函数。对于\(0<x<1\),也有\(G(x)=0\)。\(\alpha,F,G\)的关系可以表示为：

  \[(\alpha\circ F)(x) = \sum_{n\le{x}}\alpha(x)F(\dfrac{x}{n}) \]

• Theorem:

  • Th1：关于\(\circ\)和\(*\)的结合性，单独的运算\(\circ\)是可交换但是不可以结合的，配合狄利克雷乘积和任意数论函数\(\alpha\)和\(\beta\)我们有
    \[\alpha \circ (\beta \circ F) = (\alpha * \beta)\circ F \]

  Proof：

  对于\(x>0\)有：

  \[\begin{align*} \{\alpha \circ (\beta \circ F)\}(x)&=\sum_{n\le x}\alpha(n)\sum_{m\le\dfrac{x}{n}}\beta(m)F(\dfrac{x}{mn})\\ &=\sum_{mn\le x}\alpha(n)\beta(m)F(\dfrac{x}{mn})\\ &=\sum_{k\le x}(\sum_{n|k}\alpha(n)\beta(\dfrac{k}{n}))F(\dfrac{x}{k})\\ &=\sum_{k\le x}(\alpha*\beta)(k)F(\dfrac{x}{k})\\ &=\{(\alpha*\beta)\circ F\}(x) \end{align*} \]

  • Th2：（广义反转公式）如果\(\alpha\)有一个狄利克雷逆函数\(\alpha^{-1}\)，那么有：
  \[G(x) = \sum_{n\le{x}}\alpha(n)F(\dfrac{x}{n})\\ \Updownarrow \\ F(x) = \sum_{n\le{x}}\alpha^{-1}(n)G(\dfrac{x}{n}) \]

  Proof：

  已知\(G= \sum_{n\le{x}}\alpha(n)F(\dfrac{x}{n})=\alpha \circ F \\\)，

  \[\alpha^{-1}\circ G=\alpha^{-1}\circ(\alpha \circ F)=(\alpha^{-1}*\alpha)\circ F=I\circ F=F\\ F=\alpha^{-1}\circ G= \sum_{n\le{x}}\alpha^{-1}(n)G(\dfrac{x}{n}) \]

  已知\(F= \sum_{n\le{x}}\alpha^{-1}(n)G(\dfrac{x}{n})=\alpha^{-1}\circ G\)，

  \[\alpha \circ F=\alpha \circ(\alpha^{-1}\circ G)=(\alpha^{-1}*\alpha)\circ G=I \circ G = G\\ G = \alpha \circ F = \sum_{n\le{x}}\alpha(n)F(\dfrac{x}{n}) \]

  • Th3：（广义莫比乌斯反转）如果\(\alpha\)是完全积性的，那么有：
  \[G(x) = \sum_{n\le{x}}\alpha(n)F(\dfrac{x}{n})\\ \Updownarrow \\ F(x) = \sum_{n\le{x}}\mu(n)\alpha(n)G(\dfrac{x}{n}) \]

  Proof：

  令\(\alpha^{-1}=\alpha\mu\)。

Chapter3 形式幂级数和数论函数的贝尔级数

Section1 形式幂级数

• Definition：

  • 我们知道，在微积分中，x的幂级数形如：

    \[\sum_{n=0}^{\infty}a(n)x^n = a(0)+a(1)x+a(2)x^2+a(3)x^3+\cdots+a(n)x^n+\cdots \]

    这样一个幂级数拥有收敛半径，在范围内会收敛或是发散。

  • 而从另一个角度来说，我们使用幂级数的写作形式，但不关心x的值，不关心收敛或发散的问题，而是关心幂级数的系数序列\((a(0),a(1),a(2),\cdots,a(n),\cdots)\)。这些系数序列可以由幂级数中\(x^n\)的\(n\)来定位。

  • 形式幂级数就是通过这样一种角度来理解幂级数，把幂级数看作收敛的并在其上规定代数运算。

• Theorem:

  • 现在我们有两个形式幂级数，分别是\(A(x)\)和\(B(x)\)：

    \[A(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a(n)x^n \\B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b(n)x^n \]

  • Th1：规定相等\(A(x) = B(x)\)，即\(a(n)=b(n),n\ge0\)

  • Th2：规定和\(A(x)+B(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a(n)+b(n))x^n\)

  • Th3：规定乘积\(A(x)B(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c(n)x^n\)，其中\(c(n) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}a(k)b(n-k)\)。序列\({c(n)}\)被称为序列\({a(n)}\)和\({b(n)}\)的柯西乘积。

Section2 贝尔级数

• Definition：给定一个数论函数\(f\)和一个素数\(p\)，我们规定形式幂级数

  \[f_p(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(p^n)x^n \]

  是\(f\)关于模\(p\)的贝尔级数。

• Examples：

  1. 莫比乌斯函数\(\mu()\)的贝尔级数：

     由莫比乌斯函数的定义我们可知：\(\mu(p)=-1\)，对所有的\(n\ge2,\mu(p^n)=0\)。

     \[\begin{align*} \mu_p(x)&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\mu(p^n)x^n\\ &=\mu(p^0)x^0+\mu(p^1)x^1+\cdots+\mu(p^r)x^r+\cdots\\ &=\mu(1)+\mu(p)x+0 \\ &=1-x \end{align*} \]

  2. 欧拉函数\(\varphi()\)的贝尔级数：

     由欧拉函数的性质我们可知：\(\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}\)。

     \[\begin{align*} \varphi_p(x)&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\varphi(p^n)x^n\\ &=\varphi(p^0)x^0+\varphi(p^1)x^1+\cdots+\varphi(p^r)x^r+\cdots\\ &=\varphi(1)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\varphi(p^n)x^n \\ &=\varphi(1)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(p^n-p^{n-1})x^n \\ &=\varphi(1)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}p^nx^n-\sum\limits_{n=1}^{\infty}p^{n-1}x^n \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty}p^nx^n-x\sum\limits_{n=0}^{\infty}p^nx^n \\ &=(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}p^nx^n \\ &=\dfrac{1-x}{1-px} \end{align*} \]

  3. 如果\(f\)是完全积性的，那么对所有的\(n\ge0\)，都有\(f(p^n)=f(p)^n\)，所以其贝尔级数是几何级数：

     \[f_p(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(p)^nx^n=\dfrac{1}{1-f(p)x} \]

     对于恒等函数\(I\),单位函数\(u\)，幂函数\(N^\alpha\)，刘维尔函数\(\lambda\)这些完全积性函数来说：

     \[I_p(x)=1 \\ u_p(x)=\dfrac{1}{1-x} \\ N_p^\alpha(x)=\dfrac{1}{1-p^\alpha x} \\ \lambda_p(x)=\dfrac{1}{1-(-x)} \]

• Theorem：

  • Th1：令\(f\)和\(g\)是积性函数，则\(f=g \Leftrightarrow f_p(x)=g_p(x)\)对所有的素数\(p\)

    Proof：

    证明\(\Rightarrow\)：我们想要证明贝尔级数\(f_p(x)=g_p(x)\)，在形式幂级数中我们知道，两个形式幂级数\(A(x)，B(x)\)相等也就是\(a(n)=b(n),n\ge0\)。在此处也就是\(f(p^n)=g(p^n)\)。而\(f=g\)正好使得\(f(p^n)=g(p^n)\)。

    证明\(\Leftarrow\)：如果贝尔级数\(f_p(x)=g_p(x)\)，那也就是说\(f(p^n)=g(p^n)\)。而\(f\)和\(g\)都是积性的，同时对所有素数\(p\)都有相等，配合算术基本定理，得出结论\(f=g\)。

  • Th2：任意两个数论函数\(f\)和\(g\)，令\(h=f*g\)，则对任意的素数\(p\)，我们有

    \[h_p(x)=f_p(x)g_p(x) \]

    Proof：

    对于\(p^n\)，他的因子只能有\(1,p,p^2,\cdots,p^n\)，所以对于狄利克雷卷积我们有：

    \[h(p^n)=\sum\limits_{d|p^n}f(d)g(\dfrac{p^n}{d})=\sum_{k=0}f(p^k)g(p^n-k) \]

    这是柯西乘积的形式，符合形式幂级数乘积的运算规则，所以证明

    \[h_p(x)=f_p(x)g_p(x) \]

• Node：

  当\(f\)是积性函数时，贝尔级数特别有用。

  等比数列求和公式：

  \[S_n = \dfrac{a_nq-a_1}{q-1} = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} \\ S_\infty= \dfrac{a_1}{1-q}\quad(|q|<1,n\rightarrow\infty) \]

Chapter4 数论函数的导数

• Definition：对任一数论函数\(f\)我们定义它的导数\(f^{'}\)由下面给出：

  \[f'(n)=f(n)log{n} \quad对n\ge1 \]

• Examples:

  1. 对所有的\(n,I(n)logn=0\)，所以有\(I'=0\).

  2. 塞尔伯格等式：\(n\ge1\)，我们有：

     \[\Lambda(n)logn+\sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda(\dfrac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)log^2\dfrac{n}{d} \]

     首先有\(\Lambda*u=u'\),对其求导有

     \[\Lambda'*u+\Lambda*u'=u'' \\ \Lambda'*u+\Lambda*(\Lambda*u)=u'' \]

     用\(\mu=u^{-1}\)去乘

     \[\Lambda'*u*u^{-1}+\Lambda*(\Lambda*u)*u^{-1}=u''*u^{-1} \\ \Lambda'+\Lambda*\Lambda=u''*\mu \\ \Lambda(n)logn+\sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda(\dfrac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)log^2\dfrac{n}{d} \]

• Theorem:

  • Th1:如果\(f\)和\(g\)是数论函数，我们有：
    • \((f+g)'=f'+g'\)
    • \((f*g)'=f'*g+f*g'\)
    • \((f^{-1})'=-f'*(f*f)^{-1}\)

  Proof:

  1.1：对所有的n，有\((f+g)(n)=f(n)+g(n)\)

  1.2：

  \[\begin{align*} (f*g)'&=(\sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d}))'\\ &=\sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})log(n)\\ (logn=\\logd+log\dfrac{n}{d}=\\logd+logn-logd) &=\sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})log(d) + \sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})log(\dfrac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}f(d)log(d)g(\dfrac{n}{d}) + \sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})log(\dfrac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}f'(d)g(\dfrac{n}{d}) + \sum_{d|n}f(d)g'(\dfrac{n}{d})\\ &=(f'*g)+(f*g') \end{align*} \]

  1.3：对公式\(I'=0\)使用Th1.2，由\(I=f*f^{-1}\),我们有

  \[\begin{align*} I'&=(f*f^{-1})' \\ 0&=(f*f^{-1})'\\ &=f'*f^{-1}+f*(f^{-1})'\\ f*(f^{-1})'&=-f'*f^{-1}\\ f^{-1*}f*(f^{-1})'&=-f'*f^{-1}*f^{-1}\\ (f^{-1})'&=-f'*f^{-1}*f^{-1}=-f'*(f*f)^{-1} \end{align*} \]