二分
定义
二分查找(binary search),也称折半搜索(half-interval search)、对数搜索(logarithmic search),是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。
过程
以在一个升序数组中查找一个数为例。
它每次考察数组当前部分的中间元素,如果中间元素刚好是要找的,就结束搜索过程;如果中间元素小于所查找的值,那么左侧的只会更小,不会有所查找的元素,只需到右侧查找;如果中间元素大于所查找的值同理,只需到左侧查找。
时间复杂度
二分查找的最优时间复杂度为 O(1)。
二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 O(log n)。因为在二分搜索过程中,算法每次都把查询的区间减半,所以对于一个长度为 n 的数组,至多会进行 O(log n) 次查找。
空间复杂度
迭代版本的二分查找的空间复杂度为 O(1)。
递归(无尾调用消除)版本的二分查找的空间复杂度为 O(log n)。
整数二分算法模板
| bool check(int x) {} |
| |
| |
| int bsearch_1(int l, int r) |
| { |
| while (l < r) |
| { |
| int mid = l + r >> 1; |
| if (check(mid)) r = mid; |
| else l = mid + 1; |
| } |
| return l; |
| } |
| |
| int bsearch_2(int l, int r) |
| { |
| while (l < r) |
| { |
| int mid = l + r + 1 >> 1; |
| if (check(mid)) l = mid; |
| else r = mid - 1; |
| } |
| return l; |
| } |
浮点数二分算法模板
| bool check(double x) {} |
| |
| double bsearch_3(double l, double r) |
| { |
| const double eps = 1e-6; |
| while (r - l > eps) |
| { |
| double mid = (l + r) / 2; |
| if (check(mid)) r = mid; |
| else l = mid; |
| } |
| return l; |
| } |
二分答案模板
| #include <bits/stdc++.h> |
| using namespace std; |
| int n,m,k; |
| int ans; |
| int a[200010]; |
| bool check(int x) |
| { |
| int sum = 0; |
| for(int i = 1;i <= n;i++) |
| { |
| sum ....... |
| } |
| return ; |
| } |
| int main() |
| { |
| cin >> n >> m >> k; |
| for(int i = 1;i <= n;i++) |
| { |
| cin >> a[i]; |
| } |
| int l = ... r = ... ; |
| while(l <= r) |
| { |
| int mid = l + r >> 1; |
| if(check(mid)) |
| { |
| ans = mid; |
| r = mid - 1 or l = mid + 1; |
| } |
| else |
| { |
| l = mid + 1 or r = mid - 1; |
| } |
| } |
| cout << ans; |
| return 0; |
| } |
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