二分

二分

定义

二分查找（binary search），也称折半搜索（half-interval search）、对数搜索（logarithmic search），是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

过程

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

时间复杂度

二分查找的最优时间复杂度为 O(1)。

二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 O(log n)。因为在二分搜索过程中，算法每次都把查询的区间减半，所以对于一个长度为 n 的数组，至多会进行 O(log n) 次查找。

空间复杂度

迭代版本的二分查找的空间复杂度为 O(1)。

递归（无尾调用消除）版本的二分查找的空间复杂度为 O(log n)。

整数二分算法模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
 
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
 
double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

二分答案模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
int ans;
int a[200010];
bool check(int x)
{
	int sum = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		sum ....... //执行对应任务
	}
	return /*判断条件*/;
}
int main()
{
	cin >> n >> m >> k;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> a[i];//输入
	}
	int l = ... r = ... ;
	while(l <= r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if(check(mid))
		{
			ans = mid;
			r = mid - 1 or l = mid + 1;
		}
		else
		{
			l = mid + 1 or r = mid - 1;
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

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