BZOJ 1053 [HAOI2007]反素数ant

53: [HAOI2007]反素数ant

Description

　　对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

Input

　　一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

Output

　　不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

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　　当我见到这道题的时候是很开心的，这不就是在东北育才当时我打表过70分的divisorful数吗？细细一想，会发现：

　　一个合法的divisorful数x要求：0<i<x间存在至多一个数，其约数个数比x多。

　　 而一个合法的反质数x要求：0<i<x间不存在任何一个数，其约数个数比x多。

　　我们可以想，对于一个divisorful数，一定是小因子占先。

　　例如，6=2*3，约数个数为4。然而，437=19*23，也是4个。很明显不是。

　　而这种题，如果打表，会发现整个divisorful数集其实极其稀疏。那么，我们就可以逐步加入各质因数p，让原divisorful数集中的数*p，*p^2,*p^3,*p^4……直到查询的边界。然后将其排序，去掉不合法的数。如果数集没有变化，就结束了。

　　我们总结一下，这样的题满足：

• 可以使用数集表示，数集本身较稀疏
• 可以按合理的顺序逐步加入元素，并可贪心化break
• 加入新元素时可以较快建立其维护信息

　　啊啊啊啊啊！这样可以很快的求出2000000000内的所有反质数。挂个代码吧：

/**************************************************************
    Problem: 1053
    User: Doggu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:40 ms
    Memory:852 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
const long long MAX = 2500000000ll;
typedef std::vector< std::pair<long long,int> > SET;
SET v, w;
int p, i, j, k;
SET expand(SET &v,int p) {
    SET w=v;
    for( i = 0; i < v.size(); i++ ) {
        long long x=v[i].first*p;
        for( j = 1; x < MAX; x*=p,j++ ) w.push_back(std::make_pair(x,v[i].second*(j+1)));
    }
    sort(w.begin(),w.end());
    SET ans;
    int mx=-1;
    for( i = 0; i < w.size(); i++ ) {
        int c=w[i].second;
        if(c<=mx) continue;
        ans.push_back(w[i]);
        mx=w[i].second;
    }
    return ans;
}
int main() {
    v.push_back(std::make_pair(1,1));
    for( p = 2; ; p++ ) {
        bool pri=1;
        for( i = 2; i * i <= p; i++ ) if(p%i==0) {pri=0;break;}
        if(!pri) continue;
        w=expand(v,p);
        if(w==v) break;
        v=w;
    }
    scanf("%lld",&k);
    for( i = 0; i < v.size(); i++ ) if(v[i].first<=k&&v[i+1].first>k) {printf("%lld\n",v[i].first);break;}
    return 0;
}

　　然而，我发现其他人根本没有这样想……

　　hzwer如是说：

　　本题似乎要先知道许多结论，不要问我证明。。

　　一个数约数个数=所有素因子的次数+1的乘积

　　举个例子就是48 = 2 ^ 4 * 3 ^ 1,所以它有(4 + 1) * (1 + 1) = 10个约数

　　然后可以通过计算得一个2000000000以内的数字不会有超过12个素因子

　　并且小素因子多一定比大素因子多要优

　　预处理出前12个素数直接爆搜即可

　　霎时间感觉自己被打脸。所谓的结论是：不超过N的最大的反质数是1~N间约数最多且相对最小的值x。很明显，这样的数x是一个反质数。若1~N间存在着更大的反质数，则显然月数个数比x多，与x约数最多矛盾。

　　于是只需找1~N间约数最多且相对最小的值x，暴搜居然效率也很高。

　　但是，暴搜和我的方法时间差不多，而我却算出了所有的反质数。若要打表，显然更优。