《基础排序算法练习题》

例1：排序只能交换相邻数字，最少交换次数为逆序对数。
证：每次交换能使逆序对数不变或-1，且排序完成与逆序对数=0等价。此外，只要存在逆序对就会存在相邻逆序对，交换相邻逆序对使逆序对数刚好-1。
例2：区间顺逆排序，询问位置的值。
做法：二分答案，取01“暴力”，时间O((n+mlogn)logn)，空间O(n+m)。
例3：比较网络(规模为n的输入及输出的黑箱，内部只有比较置换器)是否为排序网络，有多少个序列能够成功排序。
做法：所有的01序列，是否都能够成功排序，如果都可以就可以，因为当且仅当所有数k排序后<k的数都在k之前才行。计数则可以思考渐变的01序列，必须每一个都合法，像middle那样，就是路径计数O(n2^n)了。

 

题意：对于一个长为n的数组，定义一个m个步骤的算法，第i步将a[li~ri]升序排序。共询问q次，每次给出一个这样的数组，询问算法能否将数组成功排序。
20%：n≤100,200 m≤100,200 q≤100,200
　　直接暴力，时间O(qmnlogn)，空间O(m+n)。
20%：n≤1400,1500 m≤9e5,1e6 q≤8
　　用set保存相邻逆序对。m次操作每次维护相邻逆序对的变化，区间排序后逆序对不会增多，逆序对最多O(n^2)个，时间O(q(n^2+m)logn)，空间O(n^2+m)。注意到这种做法也可以用来模拟例1的过程！
10%：n≤1300 m≤8e5 q≤1300 序列为01序列且1的个数一定
　　最终排序成功的结果是唯一的，从结果逆推(将区间随便shuffle)就可以得到所有的最初输入但规模是指数级的。稍作证明，可以发现解的优劣以及每一步的最劣结果是存在的(这里的推理很强!!!)。预处理找到最劣解，使用例2的线段树是O(n+mlogn)的，后续的check是O(n)的。
20%：n≤1400,1500 m≤4000,5000 q≤1400,1500
30%：n≤1200,1400,1500 m≤7e5,9e5,1e6 q≤1200,1400,1500
　　技巧：将序列离散化为排列，相同的数则下标较小的取较小的值，逆序对的情况不变所以是正确的。
　　考虑排序网络，相当于其n-1个(≥2~n)01序列都可以成功。
　　于是需要预处理出1出现各种次数的worst解，直接暴力复杂度无法接受，于是可以考虑整合，直接对1~n的序列求worst解然后依次化成01序列是完全等价的。检查的时候依次检查，如果变成一个+1一个-1若前缀和为正为负则不可行。预处理使用消逆序对O((n^2+m)logn)，暴力预处理O(mnlogn)，使用段数合并拆分结构也可以但金策不会证复杂度。每次check复杂度O(nlogn)。

暴力优化：去掉完全无效的操作，使用n~1的排列模拟，如果无用则删去。

造操作：

20%朴素模拟可过随机构造平均化AC与WA；

20%的q较小但q太小也不行逆序对，且要让操作的区间足够长且不存在无用操作而且不能过早结束排序（留下边上几个元素最后才操作）；

20%的m和n小可以用暴力预处理，构造可以递归构造O(n)个操作O(n)长度的区间O(n^2)的逆序对，卡掉错误做法；

10%+30%中有两种，第一种为第二个20%，第二种几乎只修改相邻元素O(n^2)个有效状态暴力即O(qn^2)。

造询问数组：

造完操作后，处理出worst解，然后随机调整。

生成AC的就交换较近逆序对；生成WA的就生成较近逆序对。

WA的结果和AC很相似，防止随机水过，再掺杂一些极端糟糕的数组。