解析几何 | 第 2 版

\(\boldsymbol{Analytic\ Geometry}\text{ II}\)

by djs.

latest update for I: 2023.07.03

latest update for II: 2023.09.26

  • latest fixed: 2023.12.07

Structure

小题一般用几何。

列式方向、条件翻译、计算量预判、二级结论的应用。

资料：

【本文结构】

  • General Solution
  • 基本概念：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线
  • 基本计算方式、列式方法
  • 条件翻译
  • 二级结论
  • 常用模型

\(\textsf{Pre-Part | General Solution}\)

\(\it 0.1\) 题型概述

所谓解析几何，即用代数运算与方程通过坐标系描述几何图形，虽有少量几何意义，但仍以代数运算为主。我们主要将几何条件转化为坐标、方程这样的可以计算的条件。需要注意的是，虽然解析几何理论上可以解析一切，但计算复杂度过大的计算对于在考场上的我们则无能为力。所以，寻找简化计算的方向即时解析几何的关键所在。

\[\textsf{几何}\qquad\overset{\sf 解析}{\longrightarrow}\qquad\textsf{代数} \]

解一道解析几何题，我们需要经历口个步骤：

  1. 熟悉构图和基本要素（点和线），计算自由度，整体把控题目。
  2. 构建要素关系网，明确控制关系。
  3. 对照要素关系网的边，观察并使用二级结论进行问题的转化。
  4. 根据要素关系网，预判各种变量之间关系的形式和复杂程度，考虑计算的方向，预判复杂度。
  5. 考虑计算的起点，选合适的要素作为计算的主元。
  6. 根据要素关系网翻译条件、表示条件，写出方程。思考能不能优化条件的表达方式减少计算量。
  7. 根据前一步的预判，列出的方程消元，选择合适的计算方法，消元求解。
  8. 至此圆锥曲线的部分已经完成，问题转化为其他形式（例如最值）。

先看怎么算，明确思路，盯准了再进行具体的计算，不要边想边算。如果遇到不能一眼丁真的题也要多尝试几个思路。拿到条件不要直接无脑表示，先考虑能不能进一步简化这个条件。（例如一些几何信息优化条件，比如平行 \(\to\) 相似三角形、\(-\frac{b^2}{a^2}\) 、椭圆几何定义）（或者可以先用仿射变换进行观察）

——沃茨 · 基硕德

\(\it 0.2\) 计算相关

计算量很大。

目前没有更好的提升计算准确率的方法。

对一个题目的计算方法进行计算量预判。

【计算力提升】

  1. 何为“算感”；算感平移。
  2. 在纸上算，不要心算。
  3. 字迹清晰，排列整齐，方便查找。
  4. 小题小算，大题大算，充分利用试卷和草稿纸。
  5. 提炼公式简化计算。
  6. 代数式处理技巧（如平方差、因式分解）。
  7. 总结常见场景最速计算方式。

\(\rm I\) 基本概念、基本技法

\(\it 1.1\) 直线

【直线方程】

形式 条件 方程 不适用的直线 备注
点斜式 \(k\) 和点 \((x_0,y_0)\) \(y=kx+y_0-kx_0\) \(x=x_0\) 常用（已知定点和斜率）
斜截式 \(k\) 和截距 \(b\) \(y=kx+b\) 竖线 仍然是最常用的
两点式 点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) \((y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\) / 极少用，因为被斜率式取代
截距式 \(x,y\) 轴截距 \(a,b\) \(\dfrac xa + \dfrac yb=1\) 竖线、横线、过原点线 了解即可
一般式 / \(ax+by+c=0\) / 少用，用于变换出公式的形式，套公式
  • \(ax+by+c=0\qquad\to\qquad y=-\dfrac abx-\dfrac cb\)
  • \(ax+by+c=0\) 交 \(y\) 轴与 \(-\dfrac cb\)，交 \(x\) 轴与 \(-\dfrac ca\)。

【两直线位置关系】

位置关系 斜截式 一般式
平行 \(k_1=k_2, b_1\not=b_2\) \(a_1b_2=a_2b_1\quad\text{and}\quad a_1c_2\not=a_2c_1\)
相交 \(k_1\not=k_2\) \(a_1b_2\not=a_2b_1\)
垂直 \(k_1k_2=-1\) \(a_1a_2+b_1b_2=0\)
  • 直线 \(ax+by+c=0\) 的一个法向量为 \(\vec m=(a, b)\)。

【点与直线的位置关系】

  • 对于点 \((x_0,y_0)\) 和线 \(ax+by+c=0\) ：
  • 若 \(ax_0+by_0+c>0\) 则点在直线下方。
  • 若 \(ax_0+by_0+c<0\) 则点在直线上方。
  • 故若将 \(A,B\) 两点带入方程，得到的结果同号则两点在直线同侧；若异号则在直线异侧。

\(\it 1.2\) 圆

【基本概念】

  • 标准方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，描述一个圆心为 \((a, b)\)，半径为 \(r\) 的圆。
  • 一般方程：\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，其中 \(D^2+E^2-4F>0\)，将其配方后即可得到标准形式。其中圆心 \((-\dfrac D2, -\dfrac E2)\)，\(r^2=\dfrac14(D^2+E^2-4F)\)

【圆与直线的位置关系】

  • 用点到直线的距离公式计算圆心与直线的距离，以此判断圆与直线的相交 / 相切 / 相离。
  • 同样在判断圆与圆的位置关系时，计算圆心之间的距离并与半径比较即可（\(r_1+r_2, |r_1-r_2|\) 等）。
  • 判断点与圆的位置关系时，可以将点带入圆的方程（例：若 \(<0\) 则在圆内）

\(\it 1.3\) 椭圆

【基本性质】
椭圆的第一定义：平面上到两点 \(F_1(-c, 0), F_2(c, 0)\) 的距离之和为 \(2a\) 的点构成的曲线为椭圆，其标准方程为 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。其中 \(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。
image

椭圆的第二定义：到椭圆一侧焦点 \(F\) 的距离与到直线 \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\)（在坐标系 \(y\) 轴同侧）的距离之比为定值 \(e\) 的点构成的轨迹为椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。（\(\dfrac{|PF|}{|PH|}=e\)）

  • 焦半径公式：\(P\) 在椭圆上，\(|PF_1|=a-e\cdot x_P\)

椭圆的第三定义：平面内动点到 \(A(-a, 0), B(a, 0)\) 的直线的斜率之积为常数 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的点构成的轨迹为椭圆，其中 \(e\) 为其离心率。

  • 设 \(A, B, P\) 是椭圆上不同的三点，其中 \(A, B\) 关于原点对称，那么恒有 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)。
  • 看到斜率之积为定值想第三定义。

【基本计算方式】

  • 直线与椭圆交：将直线与椭圆联立得到一个关于 \(x\) 或关于 \(y\) 的二次方程，可通过判断 \(\Delta\) 的正负判断直线与椭圆相交 / 相切 / 相离。（\(\Delta=a^2A^2+b^2B^2-C^2\)，\(\Delta>0\) 表示与直线相交）
  • 注：若弦过椭圆的交点，那么这条弦叫焦点弦；若焦点弦垂直于交点所在的椭圆的对称轴，那么这条焦点弦叫通径（通径长度 \(\ell=\dfrac{2b^2}{a}\)）。

\(\it 1.4\) 双曲线

image

第一定义：平面上到两点 \(F_1(-c, 0), F_2(c, 0)\) 的距离的差（绝对值）为定值的点构成的曲线为双曲线。

第二定义（焦准）：到双曲线一侧焦点 \(F\) 和同侧准线 \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\) 的距离值比为定值 \(e\)（\(\dfrac{|PF|}{PH}=e\)）的点构成的图形为双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。

第三定义（斜率式）：设 \(A, B, P\) 是双曲线上不同的三点，其中 \(A, B\) 关于原点对称，那么恒有 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=\dfrac{b^2}{a^2}\)。

\(\it 1.5\) 抛物线

! image 抛物线

  • 标准式：\(y^2=2px\)（开口朝右边的躺着的抛物线）
  • 参数式：\(x=\dfrac{y^2}{2p}\)（以一次的项为控制变量）
  • 第二定义（焦准）：焦点 \(F(\dfrac p2, 0)\)，准线 \(\ell:x=-\dfrac p2\)。
  • 极坐标式：\(\rho=\dfrac{p}{1-\cos\theta}\)

抛物线上任意一点 \(A\) 到抛物线焦点 \(F(\dfrac p2, 0)\) 的距离等于其到抛物线准线 \(\ell:x=-\dfrac p2\) 的距离。

【基础二级结论】

  • 设抛物线 \(y^2=2px\) 焦点为 \(F\)，抛物线的一条弦为 \(AB\)，其中 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)。
  • 若 \(\ell_{AB}\) 过 \(x\) 轴上的定点，则 \(y_1y_2\) 为定值。
  • 若 \(k_{AB}\) 一定，则 \(y_1+y_2\) 为定值。

\(\it 1.6\) 平面对象运算方法

【基本条件表示】

  • 夹角公式：\(\tan\langle \ell_1, \ell_2\rangle=|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|\qquad\theta\in[0, \dfrac\pi2]\)
  • 距离公式：\(|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\)
  • \(P(x_0, y_0)\) 到直线 \(\ell:ax+by+c=0\) 的距离：\(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|kx_0+b-y_0|}{\sqrt{1+k^2}}\)
  • 弦长公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_A-x_B|\)
  • 平行线 \(\ell_1:ax+by+c_1=0\) 与 \(\ell_2:ax+by+c_2=0\) 之间的距离：\(d=\dfrac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

【直线运算技巧、直线系方程】

  • 与 \(ax+by+c=0\) 平行的直线：\(ax+by+c'=0\)
  • 与 \(ax+by+c=0\) 垂直的直线：\(bx-ay+c'=0\)
  • 过定点 \((x_0, y_0)\) 的直线：\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) 或 \(y=k(x-x_0)+y_0\)
  • 过两直线交点的直线方程：\(a_1x+b_1y+c_1+\lambda(a_2x+b_2y+c_2)=0\)（注意取不到 \(\ell_2\)）
  • 直线有关的对称问题：点 \((x_0,y_0)\) 关于线 \(ax+by+c=0\) 对称 \(\to\) \((y_0-\dfrac{2a}{a^2+b^2}(ax_0+by_0+c),x_0-\dfrac{2b}{a^2+b^2}(ax_0+by_0+c))\)
  • 线关于点对称：降维求解、夹角公式
  • 反射问题通法：作对称
  • 三角形重心坐标公式： \(G(\dfrac13(x_1+x_2+x_3),\dfrac13(y_1+y_2+y_3))\)
  • 三角形内心边元形式：\(a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}=0\)

【圆运算技巧、圆系方程】

  • 判断直线和圆的位置关系：距离公式计算圆心到直线的距离。【取值问题找圆心，勾股定理全搞定】
  • 双切线：使用极点极线结论。
  • 切线相关
    • 非同心相交两圆方程方程相减，所得直线为公共弦所在直线。
    • 非同心相切（内切外切）两圆方程方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。
    • 过圆 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 上一点 \(P(x_0, y_0)\) 的圆切线方程为 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)。（过圆 \(x^2+y^2=r^2\) 上一点 \(P(x_0, y_0)\) 的圆切线方程为 \(x_0x+y_0y=r^2\)）
  • 【圆系方程】
    • 过直线 \(Ax+By+C=0\) 与圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 交点的圆系方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda(Ax+By+C)=0\)。
    • 过两圆 \(C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\) 与 \(C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0\) 的交点的圆系方程为 \(C_1+\lambda C_2\)（此方程不含 \(C_2\)）。
  • \(x\cos\theta+y\sin\theta+1=0\) 表示单位圆的所有切线。
  • 阿氏圆：构造相似
    • 已知恒有 \(\dfrac{|AB|}{|AC|}=k\)
    • 已知第三边的比例且角平分线：定点轨迹为阿氏圆
  • 圆生成的函数：\(f(x)=\sqrt{-x^2+bx+c}\)（一般是半圆）。
  • 圆的斜率式：以 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 为直径的端点的圆方程为 \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\) （用垂直证明）。
  • 圆幂定理：主打相似。

\(\rm II\) 列式方向

\(\it 2.1\ \textsf{General solution}\) ——联立

“解析”本质上还是对方程的联立，由若干方程联立到一起的方程组对自由度进行消解，而对方程组的巧妙处理可以大幅降低计算量。解析几何用方程的联立，架起变量之间的桥梁。有以下几个工具：

  • 韦达定理（两根关系）
  • 判别式（根是否存在）
  • 方程的联立、消元
  • 方程之间加减乘除的变换
  • 其他变换

【列式步骤】

  1. 明确研究对象，计算自由度，理清要素关系网（对象之间的控制关系）。
  2. 观察要素关系网，预估每一步计算的复杂度，利用各种二级结论，预估变量之间的约束形式和复杂程度（称之边权阻值）。
  3. 综合计算复杂程度和二级结论，在要素关系网中选取合适的起点设出主元。
  4. 根据控制关系翻译条件，列出式子。
  5. 联立方程消元求解。
  6. 最后结合问题进行下一步求解。
    • 最值问题回归到函数化或多变量求最值上。

【常用 \(\textsf{General Solution}\)】

  • 【预知】利用各种二级结论预见变量之间的限制关系的形式和复杂程度，如用“手电筒模型”预见 \(k_1+k_2\) 为定值。
  • 【对称】出现对称结构的条件或相同性质的对象（相同性质多解，如两点都是同一直线与曲线的交点）可以考虑联立研究方程组的性质，套用韦达或方程组变换。
    • 研究不对称的式子可以刻意构造对称（如求 \(\dfrac{x_1}{x_2}\) 的范围可以转化为 \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\)）
    • 研究不对称构造元素的时候，可以构造出另一边的对象呈现出对称，进行研究。
  • 【判定】将不同的自由度转化，借此将复杂的限制条件转化为简单易处理的条件。
  • 【丁真】利用各种二级结论猜测所求定点位置，所求不等式取最值的取等条件。

不要忘了最基本的代换 \(y=kx+m\)。

\(\it 2.2\) 变量的表示、基本运算

gs：设线一般是用来联立的，设点一般是有很好的点驱动关系。一般情况下以设线联立为主。根据需要来。

设点之参数方程：

  • 将一个点 \(A(x, y)\) 写成 \(A(a\cos\theta, b\sin\theta)\)，这样就可以做到只用一个变量表示一个点。双曲线是 \(A(a\sec\theta, b\tan\theta)\)。
  • 配合三角恒等变换。

直线表示：

  • \(y=kx+m, x=ky+m\)（正设和反设，可能有计算量的差别）
  • \(y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\) 两点式
    • \(y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-\dfrac{x_1+x_2}{2})+\dfrac{y_1+y_2}{2}\) 刻意构造对称
  • \(mx+ny=1\) 用于齐次化的设法\(\begin{cases}x=x_0+r\cos\theta\\y=y_0+r\sin\theta\end{cases}\) 定点长度相关（例如圆上的点）

抛物线一般用点参，例如 \(A(y_1^2, y_1)\)。

直线相交：利用斜率相等，如 \(\dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A}=\dfrac{y_P-y_B}{x_P-x_B}\)。

【非对称条件处理方法】

  1. 涉及定点问题时先猜出定点带入求解。
  2. 由韦达定理建立两根和积关系式带入化简。
  3. 以 \(x_1\) 或 \(x_2\) 为主元进行消元化简。
  4. 涉及 \(k_1\cdot k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的问题使用第三定义进行转化。
  5. 利用点在圆锥曲线上的方程进行化简（\(P(a\cos\alpha, b\sin\alpha)\)）
  6. 刻意构造对称（如 \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}, y=k(x-\dfrac{x_1+x_2}{2})+\dfrac{y_1+y_2}{2}\)）。

刻意构造对称，例如使用两点式（或点斜式）时可以挑选两点的中点，例如 \(y=k(x-\dfrac{x_1+x_2}{2})+\dfrac{y_1+y_2}{2}\)，方便使用韦达。

\(\it 2.3\) 处理方向 1 - 韦达

最常规的方法。

【基本内容】
韦达定理：已知二次方程 \(Ax^2+Bx+C=0\)，两根为 \(x_1, x_ 2\)，则有 \(x_1+x_2=-\dfrac BA, x_1x_2=\dfrac CA\)

即设出线的解析式，与椭圆联立化为与 \(x\) 或 \(y\) 相关的二次方程，进而得到交点横纵坐标的和差信息（\(x_A+x_B=..., x_Ax_B=...\)），利用所得信息进行进一步解题。

通常有两种出发方向：点驱动（设点）与线驱动（设线）。

如果所求式对称，那么就可以用韦达获得交点的和与乘积的关系式，但该方法的缺点是较为传统，有的时候计算量较大。

\[\left<\begin{aligned} y=kx+m\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \end{aligned}\right>\Rightarrow \left<\begin{matrix}(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0 \\ \\ (a^2k^2+b^2)y^2-2b^2my+b^2(m^2-a^2k^2)=0\end{matrix}\right> \]

上式是椭圆与直线 \(y=kx+m\) 的联立，联立双曲线时将所有 \(b^2\) 替换为 \(-b^2\) 即可。

（加速计算）点乘双根：\(a_2x^2+a_1x+a_0 = a_2(x_1-x)(x_2-x)\)，将 \(x\) 赋值某常数 \(m\) 后直接带入左边的式子可以方便地计算 \(a_2(m-x_1)(m-x_2)\) 的值。

【硬解定理】

  • 椭圆
    • \((a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0\)
    • \((a^2k^2+b^2)y^2-2b^2my+b^2(m^2-a^2k^2)=0\)
    • 由韦达定理即可求解 \(x_1+x_2\)，\(x_1x_2\)，\(y_1+y_2\) 以及 \(y_1y_2\)。
    • \(x_1y_2+y_1x_2=\dfrac{-2a^2b^2k}{a^2k^2+b^2}\)
    • \(|x_1-x_2|=\dfrac{2ab}{a^2k^2+b^2}\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}\)
    • \(|y_1-y_2|=|k|\cdot|x_1-x_2|=\dfrac{2ab|k|}{a^2k^2+b^2}\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}\)
  • 双曲线
    • \((a^2k^2-b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2+b^2)=0\)
    • \((a^2k^2-b^2)y^2+2b^2my-b^2(m^2-a^2k^2)=0\)
    • 计算 \(|x_1-x_2|\) 时注意根号下的式子的正负。

trick：二次方程已知一根可以直接用韦达定理解另一根（如果二次方程已知一根或有特殊性质可以考虑直接解）

【反设】

  • 设 \(x=ky+m\)（注意此时的 \(k\) 是真正斜率的倒数）
  • 将 \(a\) 与 \(b\) 的地位调换，\(x\) 与 \(y\) 的地位调换即可。
  • 如 \((b^2k^2+a^2)y^2+2b^2kmy+b^2(m^2-a^2)=0\)。

【抛物线】

  • 较为 trivial
  • \(\begin{cases}y^2=2px\\x=ky+m\end{cases}\to y^2-2pky-2pm=0\)。

\(\it 2.4\) 处理方向 2 - 方程组变形

【\(\sf gs\)】
如何快速解联立的方程组？

若存在形式非常相近或出现相同结构的方程，那么就可以考虑对方程之间进行整体的变换，例如作差、作商等等。这样得到的方程的形式可能优于原方程，也可以做到构造对称。注意方程组的自由度问题，有多少个方程就要解出多少个条件。

【经典模型】定比点差法

  • 用于处理中点弦、定比分弦等等。
  • 设出椭圆上两点 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)，得到椭圆方程 \(\begin{cases}\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1\\\dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1\end{cases}\)，两者做差后运用平方差公式可以得到中点弦的二级结论之一 \(k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)。
  • 其变式为可以表示线段的定比分点（按某个比例取得的点），即将某一个式子乘 \(\lambda^2\)（\(\lambda\) 为比例）之后做差相减，得到 \(\dfrac{(x_1-\lambda x_2)(x_1+\lambda x_2)}{a^2}+\dfrac{(y_1-\lambda y_2)(y_1+\lambda y_2)}{b^2}=1-\lambda^2\)。
  • 其他应用有待研究。

【抛物线点参解析式】（点差）
初中全靠这一条公式做二次函数......

  • 对于抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 上的两点 \(x_M, x_N\)，有 \(\ell_{MN}:y=[a(x_M+x_N)+b]x-ax_Mx_N+c\)。
  • 对于抛物线 \(y^2=2px\) 上的两点 \(y_M, y_N\)，有 \(\ell_{MN}:x=\dfrac{x_M+x_N}{2p}y-\dfrac{x_Mx_N}{2p}\)。

【对偶式】

  • 黄金 \(n\) 角的本质：对偶式 \(\alpha x+\beta y\lrarr\beta x-\alpha y\)。
  • 构造对偶式，如 \(x_1y_2+x_2y+1\)，使之出现 \(x, y\) 的平方项，带入椭圆方程。

\(\it 2.5\) 处理方向 3 - 齐次化处理 | 配合平移

【齐次化】

  • 将直线方程写成 \(mx+ny=1\) 的形式，用“1 的妙用”（本质是调节次数使之齐次化）将其带入二次曲线式中联立，得到关于 \(\dfrac{y}{x}\) 的二次方程（即到原点连线的斜率），获得 \(k_1+k_2\) 与 \(k_1\cdot k_2\) 的信息。为应对目标直线交点不在原点的情况，通常配有坐标系平移的操作。
  • 处理过定点两直线斜率的和或积信息，常用于一些定点的证明。
  • 平移后记得要变回来！

\(\it 2.6\) 用参数方程表示圆锥曲线的弦

椭圆及双曲线点参解法（三角函数表示）：by chair.

对于椭圆：

\[A(a\cos\alpha, b\sin\alpha)\xlongequal{m_A\gets\tan\frac\alpha2} A(a\cdot\dfrac{1-m_A^2}{1+m_A^2}, b\cdot\dfrac{2m_A}{1+m_A^2}) \\ B(a\cos\beta, b\sin\beta)\xlongequal{m_B\gets\tan\frac\beta2}B(a\cdot\dfrac{1-m_B^2}{1+m_B^2}, b\cdot\dfrac{2m_B}{1+m_B^2}) \\ \rArr \ell_{AB}:ay(m_A+m_B)-bx(m_Am_B-1)=ab(m_Am_B+1) \]

对于悲伤的双曲线：

\[A(a\sec\alpha, b\tan\alpha)\xlongequal{m_A\gets\tan\frac\alpha2} A(a\cdot\dfrac{1+m_A^2}{1-m_A^2}, b\cdot\dfrac{2m_A}{1-m_A^2}) \\ B(a\sec\beta, b\tan\beta)\xlongequal{m_B\gets\tan\frac\beta2}B(a\cdot\dfrac{1+m_B^2}{1-m_B^2}, b\cdot\dfrac{2m_B}{1-m_B^2}) \\ \rArr \ell_{AB}:ay(m_A+m_B)-bx(m_Am_B+1)=ab(m_Am_B-1) \]

对于抛物线 \(y^2=2px\)：\(\ell:(y_1+y_2)y-y_1y_2=2px\)

\(\it 2.7\) 注意事项

直接设直线时涉及变量取值范围时必查 \(\Delta\)。

\(\rm III\) 条件翻译

\(\it 3.1\) 坐标系中的基本对象处理

  • 直线
    • 两直线交点：\(\dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1}=\dfrac{y_0-y_2}{x_0-x_2}\)（斜率式）（常用）
    • 平行：\(k_1=k_2\) 或 \(\vec m=\lambda\vec n\)。
    • 垂直：\(k_1k_2=-1\) 或 \(\vec m\cdot\vec n=0\)。
    • 直线与圆锥曲线的位置关系：判 \(\Delta\) 正负。
    • 直线与圆锥曲线相交（属于较复杂的关系）：
      • 获得点坐标的和、积：联立韦达。
      • 获得到某个定点的直线斜率的关系（和、积）：联立构造齐次化，配合平移。
  • 角度
    • 斜率 \(k=\tan\theta\)
    • \(\tan\theta=\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\)，转化成斜率的信息（比如说接着用齐次 - 平移）
    • 向量夹角公式数量积。
    • 运用公式中所带的三角函数。
    • 用特殊手段证明角度相等（如相似等几何关系）
    • 特殊角度：特殊手段（如焦点三角形相关、阿基米德三角形）
  • 线段中点：\(\left(\frac12(x_1+x_2), \frac12(y_1+y_2)\right)\)；
    • 线段定比分点：向量。
  • 圆
    • 直线与圆的位置关系：计算圆心到直线的距离（套公式）。
    • 极点极线相关结论。
  • 长度
    • 一般的长度：两点距离公式。
    • 弦长：\(\ell=\sqrt{k^2+1}|x_1-x_2|\)。
    • 点 \((x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离公式 \(\ell=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
    • 特殊长度：特殊方法（如焦半径）
  • 两点之间斜率：\(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)。
  • 焦点三角形的顶角：\(S=b^2\cdot\tan\dfrac\theta2\)。
  • 三点共线：\(A, B, C\) 共线，则 \(k_{AB}=k_{AC}\)（随意各选两点即可）（列斜率式）

\(\it 3.2\) 几何条件代数化方向

  • 重心：坐标公式（加起来除 \(3\)）
  • 三角形的面积
    • 基础：\(S=\dfrac12ah\)（弦长 + 距离公式）
    • 铅锤法
    • 向量叉积 \(S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\)
      • 向量叉积形式的四边形对角线面积公式：已知原点为 \(O\) 的坐标系内四边形 \(ABCD\)，则 \(S_{ABCD}=\dfrac12[(x_A-x_C)(y_B-y_D)+(x_B-x_D)(y_C-y_A)]\)（分为 \(S_{\Delta OAB}, S_{\Delta OBC}, S_{\Delta OCD}, S_{\Delta ODA}\) 四个三角形然后叉积）
      • 四边形的面积：拆成两个三角形；对角线垂直型 \(S=\dfrac12ab\)；平行四边形 \(S=2ab\sin\theta\)。
    • 仿射变换
    • 特殊面积：特殊处理（如焦点三角形）
  • 同一条直线上相邻长度的比：
    1. 转化为横或纵坐标比
    2. 向量表示
    3. 仿射变换
  • 各种向量条件：坐标表示，基本用不到几何意义
  • 点和直线的变换
    • 等腰三角形 / 垂直平分线：垂直 + 中点
    • 点与点关于某直线对称：垂直 + 中点
  • 角平分线：
    1. 水平或竖直：斜率 \(k\) 取反
    2. 斜线：用夹角公式，或变成长度用角平分线定理
    3. 椭圆的光学性质相关（焦点三角形）

\(\rm IV\) 二级结论与常用模型

熟练掌握和使用二级结论可以掌控全局，有效帮助预判计算方向和计算量。

【二级结论】

  • 有些题在动笔之前就被丁真薄纱了。

\(\it 4.1\) 仿射变换与斜率

【仿射变换基本概念】

  • 将原坐标系的所有点的横纵坐标进行等比例放缩，如 \(\begin{cases}x\to ax\\y\to by\end{cases}\)。一般放缩为圆或反比例函数（\(y=x\)）等易于处理的图形。
  • 性质：
    1. 斜率成比例变化（线性）。
    2. 面积成比例变化（线性）。
    3. 点线相对位置关系不变，同一直线上的线段长比例不变（包括向量加减运算）。
  • 求奇怪面积的时候可以用仿射变换。
  • 参数方程 \(A(a\cos\alpha, b\sin\alpha)\) 本质也是仿射变换。

【椭圆第三定义相关】

  • 平面上 \(A(-a, 0), B(a, 0)\) 两点，平面上一动点 \(P\) 到两点直线斜率之积 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)，则 \(P\) 的轨迹为椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。
    • 该结论经仿射变换为圆后易证。事实上，对于椭圆上任意关于原点对称的两点，该结论都适用。
  • 斜率之积 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 十分特殊，其经仿射变换为圆后将变为 \(-1\)，即两直线垂直。
  • 椭圆中点弦：经仿射变换后变为圆中垂径定理模型（\(k_{AB}\cdot k_{OP}=-\dfrac{b^2}{a^2}\quad\to\quad k_{A'B'}\cdot k_{OP'}=-1\)）

【衍生结论 & 方法体系】

  • 若 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) 是椭圆 \(\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上的两个动点，满足 \(k_{OA}\cdot k_{OB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)（也就是仿射为圆后 \(OA'\perp OB'\)），那么：
    1. \(S_{\Delta AOB}=\dfrac{S_{\Gamma}}{2\pi}=\dfrac12ab\)，\(x_1^2+x_2^2=a^2, y_1^2+y_2^2=b^2\)。
    2. 若椭圆上一点 \(M\) 满足 \(\vec{OM}=\lambda\vec{OA}+\mu\vec{OB}\)，则 \(\lambda^2+\mu^2=1\)；若平面内一点 \(N\) 满足 \(\vec{ON}=\lambda\vec{OA}+\mu\vec{OB}\)，则 \(N\) 点的轨迹是 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda^2+\mu^2\)。
  • 对于双曲线，将其仿射为反比例函数后对应的有效斜率积为 \(\dfrac{b^2}{a^2}\)（且需要将仿射后的 \(x^2-y^2=1\) 旋转 \(45^\circ\) 变为函数 \(y=\dfrac1x\)）。过双曲线
    • 双曲线中的面积定值：过双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上一点 \(P(x_0, y_0)\) 作两条分别平行于渐近线的直线，围成的平行四边形面积为定值 \(S=\dfrac12ab\)。

【其他斜率相关二级结论】

  • 椭圆上 \(A, B\) 两动点，满足 \(\ell_{OA}\perp\ell_{OB}\)，点 \(P\) 是原点 \(O\) 关于弦 \(AB\) 的垂足，则 \(P\) 的轨迹是以原点为圆心，半径为 \(\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\) 的圆。

\(\it 4.2\) 极点极线、切线

【极点极线的概念】

  • 平面上有二次曲线 \(\Gamma:Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)，则对于极点 \(P(x_0, y_0)\)，其关于曲线 \(\Gamma\) 的极线为 \(\ell_P:Ax_0x+Cy_0y+D\dfrac{x+x_0}{2}+E\dfrac{y+y_0}{2}+F=0\)（即 \(\begin{cases}x^2\to x_0x\\y^2\to y_0y\end{cases}\)，\(\begin{cases}x\to\dfrac{x+x_0}{2}\\y=\to\dfrac{y+y_0}{2}\end{cases}\)）。（下文用 \(\ell_M\) 表示 \(M\) 点的极线）
    • 焦点和准线是一对特殊的极点极线。
  • 几何定义：过 \(P(x_0, y_0)\) 引圆锥曲线的两条割线，交于 \(A, B, C, D\) 四点，\(\ell_{AB}\cap\ell_{CD}=T\)，则 \(T\in\ell_P\)（\(A, B, C, D\) 四点顺序任意）。【常常作为出题的几何构造】

【极点极线的性质】

  1. 对于圆锥曲线外一点 \(P(x_0, y_0)\)，过 \(P\) 作椭圆的两条切线交椭圆于 \(M, N\)，则直线 \(MN\) 就是点 \(P\) 对应的极线。
  2. 对于圆锥曲线上一点 \(P(x_0, y_0)\)，其极线为椭圆在 \(P\) 处的切线。
  3. 对于圆锥曲线内一点 \(P(x_0, y_0)\)，过 \(P\) 引椭圆的一条割线交于 \(A, B\)，则椭圆在 \(A, B\) 两点处的切线的交点构成的轨迹为 \(\ell_P\)。
  4. 【配极原则】\(Q\in\ell_P\lrArr P\in\ell_Q\)。
  5. 过 \(P\) 作割线 \(\ell_0\) 交圆锥曲线于 \(AB\)，\(\ell_0\cap\ell_P=Q\)，则 \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{QA}{QB}\)（\(P, Q\) 关于圆锥曲线调和共轭）。
    • \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{QA}{QB}\) 与 \(\dfrac2{PQ}=\dfrac1{PA}+\dfrac1{PB}\) 等价。
    • 若 \(A, B\) 在圆锥曲线的对称轴上，且 \(A, B\) 关于圆锥曲线调和共轭，过 \(B\) 作圆锥曲线的热议一条割线交于 \(P, Q\)，则 \(\angle PAB=\angle QAB\)。

【极点极线相关定值模型】

  • 过椭圆 \(\Gamma\) 外一点 \(P(t, 0)\) 引割线 \(\ell_{AB}\) 交于 \(A, B\)，\(A'\) 为 \(A\) 关于 \(x\) 轴的对称点，\(\ell_{A'B}\cap x=Q\)，则 \(\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=a^2\)。(双曲线，抛物线同理）
  • \(P\) 为椭圆外一点，\(A, B\) 为椭圆左右顶点，\(\ell_{PA}\cap\Gamma=C, \ell_{PB}\cap\Gamma=D\)，\(\ell_{CD}\cap x=Q\)，则 \(\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=a^2\)（双曲线同理）

\(\it 4.3\) 定点模型

【定点模型理论】

  • 自由度为 \(1\) 的直线：要么过定点，要么定斜率，要么是其他少见形式（如椭圆切线）。
  • 对于求直线过定点的题型，可以采取先猜后证的策略。
    1. 套用极点极线
    2. 常规模型
    3. 通过取特值猜出定点
    4. 考虑对称性

【常用定点模型】

  1. 极点极线
    • 极点自由度为 \(1\) 时极线自由度为 \(1\)，一般过定点。
    • 注意 \(Q\in\ell_P\lrArr P\in\ell_Q\)。
    • 判定极点极线：椭圆内接四边形 / 圆锥曲线上四点。
  2. 过圆锥曲线上定点的直线斜率关系
    • 过圆锥曲线上定点 \(P(x_0, y_0)\) 作其割线，交于 \(A, B\)，其中 \(k_1=k_{PA}\) 和 \(k_2=k_{PB}\) 满足一定关系（简单关系）。
      • \(k_1\cdot k_2=m\)，则 \(\ell_{AB}\) 过定点 \((\dfrac{(a^2m+b^2)x_0}{a^2m-b^2}, -\dfrac{(a^2m+b^2)y_0}{a^2m-b^2})\)。（椭圆）
      • \(k_1+k_2=m\)，则 \(\ell_{AB}\) 过定点。
    • 当然有可能是斜率为定值的情况。

【证明方法体系】

  1. 最优先：齐次化 - 平移
    • 平移变换：\(\begin{cases}x=x'+a\\y=y'+b\end{cases}\)
    • 由韦达定理获得 \(k_1+k_2, k_1\cdot k_2\) 的值。
  2. 先猜后证
    • 猜定点：
      1. 极点极线
      2. 常用模型判断
      3. 考虑多种特殊情况，来骗来偷袭！
      4. 考虑对称性
    • 方法 1：齐次平移。
    • 方法 2.1：直线过点；若定点在 \(x\) 轴或其他直线上，代入根系关系，联立解出 \(x\) 值。
    • 方法 2.2：三点共线；列斜率式 \(k_1=k_2\)。
    • 方法 3：一般证明法；写出直线的方程并证明其过定点。（很复杂，不推荐用）

\(\it 4.4\) 定值模型

【中点弦定值相关（\(-\dfrac{b^2}{a^2}\)）】

  • 形式：\(k_1\cdot k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}\)
  • 本质：仿射为圆
  • 内容包括：
    1. 中点弦（对应圆中垂径定理）
    2. 切线（对应圆中切线垂直于半径）
    3. 斜率积为 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的弦（对应圆周角定理）
  • 见【仿射变换 & 斜率相关】

【垂直相关（斜率积为 \(-1\)）】

  1. 设 \(A, B\) 是椭圆上两个动点，满足 \(k_{OA}\cdot k_{OB}=-1\)，过原点向 \(\ell_{AB}\) 作垂线交于 \(H\)，则：
    1. 点 \(C\) 的轨迹方程为 \(x^2+y^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\)，即 \(|OC|=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
    2. \(\dfrac1{|OA|^2}+\dfrac1{|OB|^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\)。
    3. 双曲线中 \(b^2\to-b^2\) 即可。
  2. （蒙日圆）由椭圆外一点向椭圆引两条切线切于 \(A, B\)，满足 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-1\)，点 \(C\) 为弦 \(AB\) 的中点，点 \(Q\) 为椭圆上的另外一点，\(\ell_{OQ}\cap\{x^2+y^2=a^2+b^2\}=E, F\)，则：
    1. \(|OP|=\sqrt{a^2+b^2}\)。
    2. \(O, C, P\) 三点共线，点 \(C\) 轨迹为椭圆。
    3. \(|QE|\cdot|QF|=|QF_1|\cdot|QF_2|\)。
    4. 对于双曲线 \(b^2\to-b^2\) 即可。

【斜率定值相关】

  1. \(k_1+k_2=0\)（对称）
    • 过椭圆上一定点 \(P\) 引两条弦 \(PA, PB\)，满足 \(k_{PA}+k_{PB}=0\)，则 \(k_{OP}\cdot k_{AB}=\dfrac{b^2}{a^2}\)
  2. \(k_1+k_2=2k_0\)
    • 过椭圆内一点 \(Q(t, 0)\) 作弦 \(AB\)，动点 \(P\in\ell_Q\)（极线），则 \(k_{PA}+k_{PB}=2k_{PQ}\)。（双曲线、抛物线同理）

【角度定值】（注：约定 \(M\) 和 \(\ell_M\) 为极点极线）

  • 过椭圆上一点 \(A\) 作切线交右准线与 \(B\)，右焦点为 \(F\)，则 \(\angle AFB=90^\circ\)。
  • 过椭圆左焦点 \(F\) 作弦 \(AB\)，\(D\) 是椭圆右顶点，\(\ell_F\) 为左准线，\(\ell_{DA}\cap\ell_{F}=M, \ell_{DB}\cap\ell_F=N\)，则 \(\angle MFN=90^\circ\)。
  • 椭圆内 \(Q(t, 0)\)，\(\ell_Q\cap x=P\)，过 \(Q\) 作弦 \(AB\)，则 \(\angle APQ=\angle BPQ\)。
  • 过椭圆左焦点 \(F\) 作两条弦 \(AB, CD\)，\(\ell_{AC}\cap\ell_{BD}=P\)，则有 \(P\in\ell_F\)。
  • 过椭圆外一点 \(P\) 引椭圆两条切线切于 \(A, B\)，则有 \(\angle PF_1A=\angle PF_1B\)，\(\angle PF_2A=\angle PF_2B\)。

\(\it 4.5\) 焦点

【焦半径、焦点弦】

  • 约定：取焦点弦与焦点所在坐标轴的锐夹角为 \(\theta\)。默认 \(AB\) 为过椭圆某一焦点的焦点弦。\(F_1, F_2\) 为左、右焦点。
  • 【第二定义】\(\dfrac{AF_1}{AH}=e\)（左焦点对左准线，右焦点对右准线）
  1. 椭圆焦半径：
    • \(|AF_1|=a+ex_A\)，\(|AF_2|=a-ex_A\)。
    • 角度式：长焦半径 \(\rho_1=\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta}\)，短焦半径 \(\rho_2=\dfrac{b^2}{a+c\cos\theta}\)。
  2. 双曲线焦半径（单支焦半径）：
    • \(|AF_1|=-a-ex_A\)，\(|AF_2|=-a+ex_A\)。
    • 角度式：同上。
  3. 双曲线焦半径（异支焦半径）：
    • \(|AF_1|=a+ex_A\)，\(|AF_2|=a-ex_A\)。
  4. 抛物线
    • \(|AF|=x_A+\dfrac p2=\dfrac{p}{1\pm\cos\theta}\)。
  • 焦点弦推论
    • \(\Large\color{Red}\star\) 若过圆锥曲线焦点 \(F\) 的弦 \(AB\) 有 \(\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac nm\)，其斜率为 \(k\)，则有 \(e=\sqrt{k^2+1}|\dfrac{n-m}{n+m}|\)。
    • 在圆锥曲线中，设过焦点 \(F\) 切不与坐标轴垂直的直线交圆锥曲线于 \(A, B\)，其垂直平分线交焦点所在坐标轴于 \(R\)，则 \(\dfrac{|FR|}{|AB|}=\dfrac e2\)。
    • 椭圆或双曲线上任取一点 \(P\)，则以 \(PF\) 为直径的圆与以原点为圆心、\(a\) 为半径的圆相切（椭圆内切，双曲线外切）。

【焦点三角形、焦点角度相关】

  • 焦点三角形基本做法：
    1. 单个焦点性质不好，通常两个焦点一起使用第一定义（不然无法利用条件）。
    2. 焦点三角形顶角处理方法。
    3. 熟悉经典构图，例如内接圆。
  • 在椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 中，焦点为 \(F_1, F_2\)，\(P\) 是椭圆上任意一点，\(\angle F_1PF_2=\theta\)，则 \(S_{\Delta F_1PF_2}=b^2\cdot\tan\dfrac\theta2=b\sqrt{|PF_1|\cdot|PF_2|-b^2}\)。
    • 双曲线：\(S=\dfrac{b^2}{\tan\frac\theta2}=b\sqrt{|PF_1|\cdot|PF_2|-b^2}\)。
    • 抛物线：\(S=\dfrac{p^2}{2\sin\theta}\)（\(\theta\) 为过焦点直线的倾斜角）
  • 椭圆中，左右焦点为 \(F_1, F_2\)，\(P\) 为椭圆上任意一点 \(\angle F_1PF_2=\theta\)，则 \(|PF_1|\cdot|PF_2|=\dfrac{b^2}{\cos^2\frac\theta2}=\dfrac{2b^2}{1+\cos\theta}\)（双曲线中为 \(\dfrac{2b^2}{1-\cos\theta}\)）。若 \(\angle PF_1F_2=\alpha, \angle PF_2F_1=\beta\)，则 \(e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}\) 且 \(\dfrac{a-c}{a+c}=\tan\dfrac\alpha2\tan\dfrac\beta2\)。（双曲线中为 \(e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{|\sin\alpha-\sin\beta|}\)，\(\dfrac{c-a}{c+a}=\tan\dfrac\alpha2\tan\dfrac\beta2\)）
  • 椭圆中，焦点在 \(x\) 轴上，\(\Delta F_1PF_2\) 是焦点三角形，\(O_1\) 为其内心，延长 \(PO_1\) 交 \(x\) 轴于 \(A\)，则恒有 \(\dfrac{|O_1A|}{|PO_1|}=e\)，且 \(O_1\) 的轨迹是以原椭圆两焦点为长轴顶点的新椭圆。其中 \(O_1(ex_P, \dfrac{e}{e+1}y_P), A(e^2x_P, 0)\)。
  • 椭圆中，焦点三角形的旁切圆的轨迹为直线 \(x=a\)；双曲线的焦点三角形内切圆轨迹为 \(x=a, x\in(-b, b)\)；双曲线焦点三角形旁切圆轨迹为双曲线。
  • \(\color{Red}\Large\star\) 焦点三角形核心在于熟悉各种构图模式。

【光学性质】

  • 设椭圆上一点 \(P\)，椭圆在 \(P\) 处的切线为 \(\ell_0\)，\(\ell_1\perp\ell_0\)，则有 \(\ell_1\) 平分 \(\angle F_1PF_2\)。（从椭圆一焦点发出的光线，经椭圆反射必经过另一个焦点）
  • 双曲线同理
  • 从抛物线焦点发出的光，经抛物线反射后与焦点所在坐标轴平行。

【焦点角度相关】

\(\it 4.6\) 抛物线小专题

【阿基米德三角形（抛物线大模型）】

  • 设抛物线 \(\Gamma:y^2=2px\)，抛物线上两点 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)，\(Q\) 为弦 \(AB\) 的中点，\(\ell_1, \ell_2\) 分别为 \(A, B\) 处抛物线的切线，\(\ell_1\cap\ell_2=P\)。
  • 则：
    1. \(\ell_{PQ}\parallel x\) 轴。
    2. \(P(\dfrac{y_1y_2}{2p}, \dfrac{y_1+y_2}{2})\)。
    3. 点 \(C\) 为 \(PQ\) 中点，则 \(C\in\Gamma\)，且 \(C\) 点处的切线平行于 \(\ell_{AB}\)。
    4. \(\Delta AFP\sim\Delta PFB\)。
    5. （阿基米德三角形 \(\Delta APB\)）弦 \(AB\) 与抛物线围成的图形面积为 \(\dfrac23S_{\Delta APB}\)。其中 \(S_{\Delta APB}=\dfrac{|y_1-y_2|^3}{8p}\)。
  • 若弦 \(AB\) 过焦点 \(F\)，记 \(\ell_0\) 为准线，作 \(AA'\perp\ell_0\) 交于 \(A'\)，\(BB'\perp\ell_0\) 交于 \(B'\)，\(Q'\) 为 \(A'B'\) 中点。
    1. \(\ell_{Q'A}, \ell_{Q'B}\) 切 \(\Gamma\)。\(Q'F\perp AB, |Q'F|=\dfrac12|A'B'|\)。\(Q'A\) 平分 \(\angle A'Q'F\)，另一侧 \(Q'B\) 同理。（初中几何某模型）
    2. \(x_1x_2=\dfrac{p^2}{4}\)，\(y_1y_2=-p^2\)。（坐标表示）
    3. \(|AF|=x_A+\dfrac p2=\dfrac{p}{1-\cos\theta}, |BF|=x_B+\dfrac p2=\dfrac{p}{1+\cos\theta}\), \(S_{\Delta AOB}=\dfrac{p^2}{2\sin\theta}\)（\(\theta\) 为弦 \(AB\) 与焦点所在坐标轴的锐夹角）。
    4. 若 \(\ell_0\cap x=E\)，则 \(k_{EA}+k_{EB}=0\)。
    5. 以 \(AF\) 为直径的圆与 \(x\) 轴相切（记为 \(\tt a\)）；以 \(BF\) 为直径的圆与 \(x\) 轴相切（记为 \(\tt b\)）；以 \(AB\) 为直径的圆与 \(\ell_0\) 相切（记为 \(\tt c\)）。\(\tt a\) 与 \(\tt b\) 外切，\(\tt a\) 和 \(\tt b\) 分别与 \(\tt c\) 内切。

\(\it N\) 补丁

\(\ell ink\)

\(\it N.1\) 圆锥曲线小题

【离心率】

  1. 第一定义：双焦点构图，当解三角形做
  2. 第二定义（较少）
  3. 第三定义：处理斜率、垂直（包括中点弦）
  4. 焦点相关：
    • 第一定义
    • \(e=\sqrt{1+k^2}\cdot|\dfrac{n-m}{n+m}|\)
  5. 焦点三角形
    • 熟悉各种构图（如内心构图）
    • 常见公式：\(S=b^2\tan\frac\theta2, r=(a-c)\tan\frac\theta2, h=\dfrac Sc, R=\dfrac{2c}{\sin\theta}\)...

\(\it N.2\) 运算形式补充

【运算形式】

  1. 点坐标 + 设线联立（传统）
    • 将一切用点坐标以及斜率表示
    • 直线 \(\cap\) 直线：\(\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}\)（列方程组然后向一定方向消元或配凑）
    • 直线 \(\cap\) 圆锥曲线：线参 \(y=kx+m\) 联立韦达
    • 垂直：斜率或向量
    • 长度：\(|x_A-x_B|\cdot\sqrt{1+k^2}\)
    • 面积
    • 角度
  2. 点参三角式（参数方程）
    • \(A(a\cos\alpha, b\sin\alpha)\)
    • 弦公式 \(\ell_{AB}\)
    • 仿射变换赋予 \(\alpha, \beta\) 几何意义
    • 使用三角恒等变换

\(\it N.3\) 曲线系、四点共圆

形如 \(\Gamma:ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\) 的曲线称为二次曲线。二次曲线包含椭圆、双曲线、抛物线（存在轴倾斜的情况）以及退化的两条直线。二次曲线的自由度是 \(5\)，即平面上 \(5\) 个不共线的点可以确定唯一一条二次曲线。

曲线系常用于解决曲线与曲线交、直线与曲线交的情形，以及四点共圆、定点定值、几何证明。

如果两曲线交于四点，那么剩余自由度为 \(1\)，即可用 \(\Gamma:\lambda C_1+\mu C_2=0\) 表示过这四点的所有曲线，然后使用待定系数法获得索所要的信息。

  • 【二级结论】在椭圆（或双曲线、抛物线）\(\Gamma\) 上存在不共线的四点 \(A, B, C, D\)，若这四点共圆，那么 \(k_{AB}+k_{CD}=0\)，其中 \(A, B, C, D\) 四点的顺序可任意取。
    • 证明方法即设 \(\ell_{AB}, \ell_{CD}\) 所代表的两条直线曲线系为 \(T\)，取过四点的新曲线 \(E:\lambda\Gamma+\mu T=0\)，其中新曲线 \(E\) 为圆，其表达式 \(E:ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\) 中 \(a=b\) 且 \(c=0\)。带入直线后可得 \(k_1+k_2=0\)。
  • 【tricks】对于单个直线与曲线相交可构造 \(\Gamma+(\ell)^2=0\) 的形式。
  • 大多证明方法是先表示出曲线系再比对系数，类似于抛物线点差法的使用过程。

\(\it N.4\) 其他

表示方法：特殊表示方法（依据具体情况而定

极坐标系解圆锥曲线

! image

! image 双曲线

! image 抛物线

内准圆

求最值问题丁真放缩法

高庙上的曲线系

  • \(\Large\star\) 二次曲线 \(C:Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0\)
  • \(C_1:F_1(x, y)=0, C_2:F_2(x, y)=0\)
  • 一般曲线系 \(F(x, y)=\lambda_1F_1(x, y)+\lambda_2F_2(x, y)=0\)

【临时例题】
\(\ell ink\)

非对称韦达

证明角度相等：相似三角形？

posted @ 2023-09-26 22:54  badFlamesへ  阅读(217)  评论(0)  编辑  收藏  举报