导数练习题
导数练习
by djs
latest update: 2023.09.02
能同构就同构，因为无论怎样都会大大简化问题。
练习
现在是这样的情况：
【导数 gs 框架】
- 多自由度？主元
- 多元？消元
- 直接导不行？放缩
- 其他技巧（同构等等）
【导数 gs】
- 消元技巧
- 消元形态：\(a=f(x)\)
- 方程组变换技巧
- 一般是对称变换（保证齐次）
- 特殊代数法则：\(\exp\) 乘除，\(\ln\) 加减
- “形式等价代换”（自己取的名字）：调节次数（如隐零点代换）
- 特殊消元：齐次化
- 消元不一定是原元，可能是 \(x-y\) 或 \(\dfrac xy\) 等等
- 放缩技巧
- 对数均值不等式 \(\sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}<\dfrac{x+y}{2}\)
- 经典放缩相关不等式（一大堆）
- 放缩要参考取等条件，不能将其放缩掉
- 放缩要参考图像，避免瞎放缩
Solved
Problem 1. Medium. 证明 \(e^x\ln x+\dfrac{2e^{x-1}}{x}>1\)。
\(e^x(x\ln x+\dfrac2e)\ge e^x\cdot\dfrac1e=e^{x-1}\ge x\to e^x\ln x+\dfrac{2e^{x-1}}{x}>1\)
Problem 2. Hard. \(x>1\) 时 证明：\(\dfrac{\ln x+1}{(e+1)x}>\dfrac{2e^{x-1}}{(x+1)(xe^x+1)}\)
做出这题的关键在于合理分组。令 \(x=1\) 则 各部分值为 \(\dfrac{1}{e+1}>\dfrac{2}{2\cdot(e+1)}\)，所以可以尝试如下分组：\(\dfrac{(x+1)(\ln x+1)}{(e+1)x}>\dfrac{2e^{x-1}}{xe^x+1}\)，分别求导求解。发现 \([\dfrac{(x+1)(\ln x+1)}{(e+1)x}]'>0, [\dfrac{2e^{x-1}}{xe^x+1}]'<0\)，且两者在 \(x=1\) 时相等。解决。
Unsolved
Problem 1. \(f(x)=\dfrac{1-x^2}{e^x}\)，方程 \(f(x)=m(m>0)\) 有两解 \(x_1, x_2\)，证明 \(|x_1-x_2|<2-m(1+\dfrac{1}{2e})\)。
Problem 2. \(f(x)=xe^{2x}-\ln x-ax-1\ge 0\) 恒成立，则 \(a\) 的范围？
做法：\(e^{2x+\ln x}-(2x+\ln x)-1\ge (a-2)x\)
戳辣！事同构！\(2x^2e^{2x}=-\ln x\to 2xe^{2x}=\ln x^{-1}\cdot x^{-1}\)
那如何求 \(f(x)=e^{2x}-\dfrac{\ln x+1}{x}\) 的最小值？（答案：\(2\)
Problem 3. 死变态放缩 已知 \(f(x)=e^x-x-a(a\in(1, 2]), f(x_0)=0\)，证明 \(x_0f(e^{x_0})\ge(e-1)(a-1)a\)（前一问：证明 \(\sqrt{a-1}\le x_0\le \sqrt{2(a-1)}\)
Problem 4. 函数 \(f(x)=\ln x-ax+\dfrac ax\)
- 证明：\(\prod(1+\dfrac{1}{n^2})<e^{\frac34}\)
- 若 \(g(x)=\ln x-ax+\dfrac{4a}{x}-\ln 2=0\) 有三个根，求 \(a\) 范围。
啊？？？？？？？？
同构专题
\(\rm I\) 总论部分（\(\sf gs\)）
\(\it 1.1\) 原理
同构，即将目标式 \(F(x)\) 通过变形化为若干个 \(f(g(x))\) 的形式，达到大大简化问题的效果。同构与直接展开代数式相反，是代数式逆向构造代数式的过程，糅合了构造思想，难度较大，故熟练掌握同构需要经验的积累。
\(\it 1.1\) 导数同构背景下的代数式观察
【指幂对幂】
- 当代数式同时出现指数部分和对数部分时，往往求导会很繁杂，而绝大部分的同构的原式都是指幂混合或对幂混合的。故出现指-幂-对-幂结构且出现相似代数式时可以考虑观察同构。
- 当只出现指数和对数而缺少幂函数时，可以根据情况考虑补充幂函数。指数对数同时出现时观察是否能够同构。
- 某一块式子反复出现时考虑同构。
【指对同构】
- 同构标志之一，常见形式为 \(e^x\) 乘除、\(\ln x\) 加减。即任意一个数都可以写成 \(x=e^{\ln x}=\ln(e^x)\)。
- \(A\cdot e^x \to e^{x+\ln A}\) 构造 \(x+\ln A\)，乘除变加减（\(\dfrac{e^x}{A}\) 同理）。
- \(A+\ln x \to \ln(e^Ax)\)，加减变乘除（减法同理）。
- \(e^{2x}=(e^x)^2\) 有幂次，不要被其表面形式骗了。
要么凑 \(f(g(x))\ge 0\)，要么凑 \(f(g(x))\ge f(h(x))\)。
\(\it 1.3\) 常见同构函数
- \(xe^x\to\ln x\cdot e^{\ln x}=x\ln x\)
- \(xe^x=e^{x+\ln x}\lrarr x+\ln x\)
- \(e^x+x\lrarr x+\ln x\)（经典指幂对幂，通常是两边 \(+x\) 得到的）
\(\rm II\) 习题部分
\(\it 2.1\) Medium
Problem 1
\(f(x)=x+\ln x, g(x)=x\ln x\)，若 \(f(x_1)=\ln t, g(x_2)=t\)，则 \(x_1x_2\ln t^2\) 的最小值是（ ）
不难，在中间消元的时候用了一部同构。
\(e^{x_1}\ln(e^{x_1})=x_1e^{x_1}=t=x_2\ln x_2\)
同构，得到 \(x_1=\ln x_2\)。剩下将所有变量全部消成 \(x_1\) 即可。
Problem 2
证明：\(x^2e^{3x}-3x-2\ln x-1\ge 0\)
同构：\(x^2e^{3x}-\ln(x^2e^{3x})\ge 1\)
Problem 3
构造同构形式：\(e^{x+m}+m\ge\ln x\)
补充幂次项 \(x\)，同构：\(e^{x+m}+x+m\ge e^{\ln x}+\ln x\)
\(\it 2.2\) Hard
Problem 1
\(a>1,x>1\)，证明 \(\ln(ax)\le\dfrac{e^x}{a}\)。
\(\ln a+\ln x\le e^{x-\ln a}\)
补充幂次项，\(x+\ln x\le e^{x-\ln a}+x-\ln a=e^{x-\ln a}-\ln(e^{x-\ln a})\)
Problem 2
证明：\(e^x>x^2-x\ln x+x\)。
盯~
发现单个的 \(e^x\) 和 \(x\ln x\) 啥的配在一起很奇怪，遂同除 \(x\)：\(e^{x-\ln x}>x-\ln x+1\)。完结。
Problem 3
\(a>0, x>0\)，证明 \(ae^{x-1}-\ln x+\ln a\ge 1\)。
\(e^{x+\ln a-1}+x+\ln a-1\ge x+\ln x\)
\(\it 2.3\) Lunatic(?)
Problem 1
不是很 lunatic。
\(a>0, x\ge 1\)，证明 \(a(e^{2ax}-1)\ge(x-\dfrac{1}{x})\ln x\)。
xjb 凑ing
哦！\([(e^{ax})^2-1]\ln(e^{ax})\ge (x^2-1)\ln x\)
未解之谜
若 \(xe^x-ax\ge\ln x+1\) 对 \(x>0\) 恒成立，求 \(a\) 的范围？
\(a\le f(x)=e^x-\dfrac{\ln x + 1}{x}\)
\(f'(x)=e^x+\dfrac{\ln x}{x^2}=0\rArr x^2e^x+\ln x=0\)
\(xe^x=-\dfrac{\ln x}{x}\)
\(xe^x=\ln \dfrac1x\cdot e^{\ln\frac1x}\)
\(x=\ln\dfrac1x\rArr x+\ln x=0\)
\(f(x_0)=1\)
逆天。
