重学导数 | 第 1 版

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\[\tan(n\theta)=[(\dfrac{1+\text i\tan\theta}{1-\text i\tan\theta})^{n-1}\cdot(\dfrac1{\tan\theta+\text i}+\dfrac{\text i}2)-\dfrac{\text i}2]^{-1}-\text i \\ \forall \theta, n\in\R \]

还有这个

\(\boldsymbol{Derivative}\)

by djs. latest update: 2023.09.07

\(\textsf{Pre-Part | General Solution}\)

导数只是用来描绘分析函数的工具，所以导数题仍然只是科技下的函数题。函数是方程和不等式的中间产物，函数的零点是方程，函数的极值点是不等式。

【一般而言的导数题解题步骤】

1. 得到函数，初步化简。（更好地求导？）或者先宏观分析
2. 求导，得到（导函数不好处理怎么办？）
   1. 极值点
   2. 单调性
   3. 切线信息
3. 利用导数 + 原函数特殊点获得原函数的信息
   • 图像直观分析
4. 应用于解题（两方面：方程向、不等式向）
5. 剩下的就是：代数式处理技巧、方法使用技巧细化

导数不能解析函数，他所提供的都是函数的特殊性质，做不到像二次函数那样完全解析出来。所以做题依靠的也是特殊性质。

观察已有函数（死的函数）的性质（图像）是比较重要的，因为这样往往能发现突破点。结合图像，思考要证的结论如何产生，直观理解、直观证明后有助于做题。探路、整体宏观把控函数的性质和走向是发掘函数隐藏性质的重要手段。很多题往往都是先预判再证明，或者说，乱搞出来的。

\(\rm I\) 导数基础

\(\it 1.1\) 基本求导法则

【初等函数导数表】

原函数	导函数
\(y=c\)	\(y'=0\)
\(y=x^a\)	\(y'=ax^{a-1}\)
\(y=a^x\)	\(y'=a^x\ln a\)
\(y=\log_ax\)	\(y'=\dfrac{1}{x\ln a}\)
\(y=\sin x\)	\(y'=\cos x\)
\(y=\cos x\)	\(y'=-\sin x\)
\(y=e^x\)	\(y'=e^x\)
\(y=\ln x\)	\(y'=\dfrac 1x\)
\(y=\sqrt x\)	\(y'=\dfrac{\sqrt x}{2x}\)
\(y=x\ln x\)	\(y'=1+\ln x\)
\(y=xe^x\)	\(y'=(x+1)e^x\)

【求导法则】

1. 加减 \([f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)
2. 乘法 \([f(x)\cdot g(x)]'=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)\)
3. 除法 \([\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\dfrac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\)
4. 复合函数求导 \([f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)
5. 其他法则 \(\{[f(x)]^{g(x)}\}'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\ln f(x)+g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}]\)？？？

\(\it 1.2\) 洛必达法则

• \(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)
• \(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)
• \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)
• 满足条件即可反复使用

注意事项

• 必须是 \(\dfrac00\) 或 \(\dfrac\infty\infty\)，否则会出错。
• 两函数相乘转化为相除。
• （结论）\(x\rightarrow \infty\) 时，变化快慢分等级：\(e^x>x^a>\ln x\)

\(\rm II\textsf{ General Tricks}\) 函数性质观察、代数性质、几何意义

\(\it 2.1\) 导数背景下代数式处理技巧

【对数单身狗、指数找朋友】

• 对于 \([f(x)\cdot \ln x]'=f(x)\cdot \dfrac1x+f'(x)\cdot\ln x\)，求导之后式子仍然含有 \(\ln x\)，不方便处理，故在将式子初步变形时可以考虑将 \(\ln x\) 孤立，使其作为函数的加减项，求导之后式子就不会含有 \(\ln x\)。【对数单身狗】
• 对于 \([f(x)\cdot e^x]'=[f(x)+f'(x)]\cdot e^x\)，此时对于导函数找零点、看正负时就不会再有 \(e^x\)，故若整个函数表现为 \(e^x\) 乘除另一个函数，那么该函数的导数性质就会较好。【指数找朋友】
• 这些操作的目的在于简化计算，避免多次求导

【指数对数的齐次观察】

• \(e^x\cdot e^y=e^{x+y}\)：指数乘除变加减
• \(\ln x+\ln y=\ln xy\)：对数加减变乘除
• 剩下的多项式部分就按照一般的齐次化流程操作即可。

【复杂指数取对数】

• 字面意思，也有复杂对数取指数的。
• 连乘取 \(\ln\) 变连加。

【三角函数】

• 碰到三角函数与指数对数混合，一定要分开（分组，或者画个图），因为三角函数的运算性质与指数对数一点关系没有。
• 可以适当考虑把三角函数放缩掉（遇到稍微难处理一点的基本都是放缩）。
• 碰到三角函数一定要精细讨论，不要大意。

多变量对称式：相互分离，构造函数。（还有齐次消元或主元）

\(\it 2.2\) 快速区分极大值极小值

1. 如果函数能因式分解一定要因式分解（最优先）
2. 观察函数的性质，宏观把控（单调性、图像分析、式子分块）
   • 最常用的方法，一般是丁真法模拟附近函数的走向
3. 放缩观察
4. 二次求导判断零点处切线斜率（优先级较低）
5. 隐零点观察

\(\it 2.3\) 函数作图

函数作图是宏观把控函数性质、观察放缩的重要途径。

【函数作图步骤】

• 基本：定义域、零点（如果能看出来）、大致判断单调性和增长趋势（分出数量级的差别），为的是建立直观感受。
• 基本：特殊点的值（如 \(0, 1, e\) 等等）、无穷远出的值、要用洛必达法则计算的点的值；其他一些特殊性质（对称性、周期性等）。
• 求导后：具体单调性、极值点、函数具体走向；特殊位置的切线。
• 进阶：利用二阶导研究函数凹凸性以及拐点。
  • 二阶导决定原函数导数的性质，\(f''(x)>0\) 等价于原函数下凹。拐点即函数凹凸性发生变化的临界点，即 \(f''(x)=0\)
  • 拐点处的切线是一种特殊的切线（一段原函数在切线下面另一端却在上面）。

【常用函数的图像信息】

• 见附录

\(\it 2.4\) 必要性探路

对于某些问题（如恒成立），我们可以带入特殊点的值进行探路计算，解出题目的一个必要条件，作为参数分类的标准或进行后续放缩。某些点带入后往往就是最终答案。

端点效应一般跟函数单调性和凹凸性有很大的关系，对单调性较好的函数使用必要性探路可能效果会更好。

【洛必达探路】

• 计算需要使用洛必达法则的点的取值。
• 常配合分离参数使用。
• 使用洛必达算出来的值很可能是正确答案。

【特殊点探路 - 端点效应】

• 带入函数定义域 \([a, b]\) 的端点进行计算。
• 带入特殊点进行计算。如 \(0, 1, e\)。

【注意事项】

• 某些点可能带出来的结果是 \(f(x_0)\ge g(x_0)\to0\ge 0\) 的形式，这个时候就需要进一步比较 \(f'(x_0)\) 和 \(g'(x_0)\) 的大小（可以反复比较下去）。
  • 其实也就是分离参数后的洛必达探路。

警惕必要性探路失效！

\(\it 2.5\) 参数处理方向

• 最不利原则（主元）
  • 本质是贪心。常常表现为主元。在自由度 \(>1\) 时使用。
  • 将参数向“最不利”的方向放缩。
• 分离参数
  • 对式子做变形，将参数分离出来，对剩下的式子作分析。
  • 注意式子过于复杂时慎用。
• 求导，建立参数 - 极值点方程消元
  • 求导后会得到一个关于参数 \(a\) 和原函数极值点 \(x_0\) 的等式。可以利用此方程消元或变换主元为 \(x_0\) 进行剩余的研究。
• 直接求导硬证
  • 伴随繁杂的分类讨论，而且很多函数的极值点求不出来。慎用。
• 几何意义型
  • 当参数单独出现或作为直线的斜率时，此时参数被赋予了较好的几何意义。结合图像分析。

\(\it 2.6\) 同构

精妙的解法。

\(\it 2.6.1\) 原理

同构，即将目标式 \(F(x)\) 通过变形化为若干个 \(f(g(x))\) 的形式，达到大大简化问题的效果。同构与直接展开代数式相反，是代数式逆向构造代数式的过程，糅合了构造思想，难度较大，故熟练掌握同构需要经验的积累。

\(\it 2.6.2\) 导数同构背景下的代数式观察

【指幂对幂】

• 当代数式同时出现指数部分和对数部分时，往往求导会很繁杂，而绝大部分的同构的原式都是指幂混合或对幂混合的。故出现指-幂-对-幂结构且出现相似代数式时可以考虑观察同构。
• 当只出现指数和对数而缺少幂函数时，可以根据情况考虑补充幂函数。指数对数同时出现时观察是否能够同构。
• 某一块式子反复出现时考虑同构。

【指对同构】

• 同构标志之一，常见形式为 \(e^x\) 乘除、\(\ln x\) 加减。即任意一个数都可以写成 \(x=e^{\ln x}=\ln(e^x)\)。
• \(A\cdot e^x \to e^{x+\ln A}\) 构造 \(x+\ln A\)，乘除变加减（\(\dfrac{e^x}{A}\) 同理）。
• \(A+\ln x \to \ln(e^Ax)\)，加减变乘除（减法同理）。
• \(e^{2x}=(e^x)^2\) 有幂次，不要被其表面形式骗了。

要么凑 \(f(g(x))\ge 0\)，要么凑 \(f(g(x))\ge f(h(x))\)。

\(\it 2.6.3\) 常见同构函数

• \(xe^x\to\ln x\cdot e^{\ln x}=x\ln x\)
• \(xe^x=e^{x+\ln x}\lrarr x+\ln x\)
• \(e^x+x\lrarr x+\ln x\)（经典指幂对幂，通常是两边 \(+x\) 得到的）

\(\rm III\) 含参恒成立问题

一类特殊的题型

\(\it 3.1\) 多变量含参恒成立问题 - 条件翻译

【恒成立条件翻译】

• 几何意义型
  • 凹 / 凸函数：二阶导相关
• \(\forall x_1,x_2\in A, |f(x_1)-f(x_2)|\le t\quad\to\quad f_{\max}-f_{\min}\le t\) 类似情况
• \(\forall x_1\in A, \exist x_2\in B, f(x_1)\ge g(x_2)\quad\to\quad f_{\min}\ge g_{\min}\) 类似情况
• \(\forall x_1\in A, \exist x_2\in B, f(x_1)=g(x_2)\quad\to\quad\) \(f(x)\) 值域 \(\subseteq\) \(g(x)\) 值域 类似情况
• 一个细节：告诉最小值是多少 \(\lrArr\) 原式大于最小值且能取等。（方便操作）

\(\it 3.2\) 单变量恒成立问题方法体系

• 最先完成：必要性探路、端点效应、基本的不等式代数变形
• 优先级 \(\rm A\)：若端点效应成立（凭感觉和图像），则放缩参数值取等出，转化为不等式证明题。
• 优先级 \(\rm A\)：同构，能大大函数的分析问题（式子过于复杂时慎用）。
• 优先级 \(\rm B\)：对原函数进行代数变形后求导，建立参数 \(a\) 与导数零点（原函数极值点）\(x_0\) 的方程，消元变换主元为 \(x_0\) 研究新函数 \(F(x_0)\)（往往与上一个方法有异曲同工之妙）。
• 优先级 \(\rm C\)：对原函数进行代数变形后求导，分类讨论参数的取值，进行求解。

\(\rm IV\ \star\) 方程与零点

函数的零点是方程。

\(\it 4.1\) 方程相关 \(\textsf{General Solution}\)

函数和方程是什么关系？函数本质上是动态的单个代数式，函数的零点（或两函数交点）就是方程的根。所以，面对超越函数的不可解式子时，我们可以尝试运用函数的特点（单调性）获得方程的根的一些信息。

方程优于函数的一点就是可以在等号两边自由变换。

当你列出变量之间的关系式或方程组时，你应当意识到，你在解方程。

总而言之，导数背景下的方程（组）都是走的消元路线，多个元通过复杂的带指数对数的式子相等是没法处理的。

【主要 gs】

• 挑简单的变量消元，变换问题的主元。
• 可以利用已知的等式，在各元素之间进行等价代换，简化式子的形式（我称之为 形式变换 | 消元）。
• 方程组之间可以通过互相加减乘除、联立整体变换创造新的方程，是列式消元的重要途径。常用的方程组变换有加减配合、乘除配合等等。
• 消元完毕留下的元可能不是原来的 \(x_1\) 或 \(x_2\)，很有可能是差值 \(x_2-x_1\) 或比值 \(\dfrac{x_2}{x_1}\) 等等。
• 证明方程根相关不等式可能需要配合放缩。
• 注意！一个方程组无法做到消元（仍是超越方程）时尽量做到变量的分离（即 \(g(k)=f(x)\) 的形式），考虑单调性。

\(\it 4.2\) 隐零点相关

得到导函数后，我们需要解出其零点。导函数的零点解不出来也猜不出来怎么办？隐零点即将零点设为 \(x_0\)，带入原式整体代换使用。本质是将零点的信息隐藏在一个方程中。

隐零点属于“方程”范畴的技巧，将一个具体的 \(x_0\) 的值替换成一个方程使用。注意多变量零点等式（处理含参函数）时的消元作用（隐零点代换）。

【隐零点放缩】

• 对于一些求不出来的零点，我们可以求出零点大致的范围，然后赋予该零点一定的自由度（同时代换），以此证明一些并不卡死的不等式。
• 代换方向：超越函数 \(\to\) 多项式函数

【隐零点代换】

• 对于含参的导数求导之后得到的零点的方程，我们可以借助这个方程变换主元，将主元变成根的位置 \(x_0\)，然后将所有的 \(a\) 替换成 \(x_0\) 求解。属于消元的范畴。（可以发现这样自由度居然是对的）

注意是否可以将问题转化为其他问题从而不需要导数的零点。

\(\it 4.3\) 基本零点问题

【定量分析】

• 如果能解析一个方程零点，那么一定是因式分解 / 求导。
• 分离参数：转化为定函数与水平直线的交点问题。

【定性分析】

• 题型：一般是问有几个零点，证明一些基础的零点相关的不等式。
• 零点存在性定理：用函数单调性判断零点存在
• 方法体系
  1. 分离参数，转化为定函数与水平直线的交点问题（或动直线）
  2. 分析函数，求导根据单调性画图像，结合特殊点分析，运用单调性和零点存在定理（常常需要分段和放缩）。

\(\it 4.4\) 极 值 点 偏 移

大 的 要 来 辣 ！

\(\it 4.4.1\) 极值点 py 的本质

顾名思义，极值点偏移就是在函数的一段区间内（端点的函数值相等）有一个极值点，在该极值点两侧函数切线斜率变化速率不一样，导致了极值点偏离区间中点。

极值点偏移题型标准形式：给出一个函数（含参），求证一个零点不等式。（类似的还有中点导数等等）

【瞎扯】

• 见附录【瞎扯环节】

\(\it 4.4.2\) 极值点偏移 \(\textsf{General Solution}\)

极值点偏移主要有两种方法体系：拆分构造函数；零点方程组代数消元

两种方法的优先级（待定）：

• 函数越复杂，待证式越简单，拆分构造函数越优先。
• 函数越简单，待证式越复杂，代数消元越优先。

\(\it 4.4.3\) 拆分构造

适用于待证式较简单时，例如：

• \(x_1+x_2>A\)
• \(x_1x_2>B\)
• \(x_1+x_2>f(a)\)

一般转化为 \(x_1>\dfrac{f(a)}{x_2}\)，确保 \(x_1\) 和 \(\dfrac{f(a)}{x_2}\) 两点在原函数的同一单调区间中，转化为 \(0=F(x_1)>F(\dfrac{f(a)}{x_2})\)，构造新的函数证明不等式（注意单调性，一般是单调的）。

注意不要忽略 \(f(x_1)=0\) 这类条件，有可能可以利用其等式消去参数。若待证式中有参数 \(a\) 出现且式子复杂（主要是那种令人匪夷所思的情况），则需要考虑根据具体情况适当拟合和放缩。

\(\it 4.4.4\) 代数消元

4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.

指将零点的全部信息包含在方程组 \(\begin{cases}f(x_1)=0\\f(x_2)=0\end{cases}\) 中（此时自由度为 \(1\)），用特有的方法消元。

1. 构造方程组 \(\begin{cases}f(x_1)=0\\f(x_2)=0\end{cases}\)（含有参数）。
2. 通过方程组变换（加减乘除，一般 \(e^x\) 相关是差值换元，方程组加减；\(\ln x\) 相关是比值换元，方程组乘除）消去参数的值。若实在不能消去可以考虑分离变量，研究其单调性。
3. 设出最终形式的元（例如差值换元就设 \(k=x_2-x_1\)，比值换元就设 \(k=\dfrac{x_2}{x_1}\)），将 \(x_2\) 代换为 \(k\) 值，将消掉的参数带入待证式，确保得到一个新函数 \(g(k)\)，进而研究新函数 \(g(k)\) 的性质。
4. 需要配合一些不等式使用（构出新函数 \(g(k)\) 的时候其实已经转为不等式问题了）。

【极值点偏移常用不等式】

• 见附录

\(\rm V\ \star\) 不等式证明

函数的极值是不等式。你猜他为什么压轴出场？

\(\it 5.1\) 不等式相关 \(\textsf{General Solution}\)

函数和不等式是什么关系？函数本质上是将单个代数式放在动态的环境中研究，那么自然地，函数的极值点就对应到不等式的最值。而导数作为研究函数的工具，加你个原函数的极值点转为导函数的零点，从而可以获得函数的一些性质，处理超越函数（万恶之源）。求解不等式时需要使用多种导数技巧。

注意区分：能直接用导数解析的代数式（利用极值点或单调性），导数不好需要放缩的；需要严格取等的不等式，有放缩余地的不等式。

导数背景下的不等式证明主要走的是消元路线，直接运用不等式的很少。

\(\it 5.2\) 常规不等式处理流程

今日命题：如何证明一个又 \(\exp\) 又 \(\ln\) 的不等式？

【不等式基本处理流程】
拿到一个不等式：\(f(x)\ge g(x)\)

1. 多元吗？先消元，自由度高的先主元。
2. 首先做基本代数变形，如两边同乘同除，将 \(e^x\) 或 \(\ln x\) 换元，【指数找朋友、对数单身狗】等等。
3. 观察（其实是宏观掌握函数的性质）。
   • 作出图像观察函数（若图像较简单），配合函数的各种性质分析（前文）。
   • 留意取等处和特殊点的切线。
   • 对计算量小的可以直接求导。如果导数零点方程比较简洁看看能不能用隐零点。
   • 不好画整个图像的，可以抽象处若干“母函数”，将原函数变为这些函数的加减乘除，借以分析原函数。或将原不等式分成几个部分，分别证明。【拆分计算】
   • 使用其他技巧转化代数式，如同构。
4. 无法直接证明（经过求导 + 基本代数变形），考虑各种放缩。

\(\it 5.3\) 放缩

真正的万恶之源。

没有固定的方法，全凭函数的具体性质和做题经验。当然有若干固定的模式可以参考。

大体的规律和方法有：

1. 放缩基本上根据图像宏观把控、取等位置、导数切线斜率构造放缩。
2. 函数加减型放缩：图像分析“隔离折线”。
3. 切线放缩、凹凸反转
   • 对于一个不等式类函数，有两类切线比较重要，一是取等点的切线（不能将取等点放缩掉），二是拐点处的切线。
   • 切线放缩很大程度依靠函数的凹凸性。
   • 取等点处的切线一般有较为重要的参考意义。
   • 所谓拐点就是 \(f''(x)=0\) 的点，拐点左右的函数有不一样的凹凸性。
4. 以代数式为主体进行观察，使用经典不等式放缩。

\(\it 5.4\) 常用放缩不等式

可以参考一些附录中的函数图像（章节 \(\it N.1\)）。

【放缩不等式】

• \(a>b>0, a>m>0\)，则 \(\dfrac{b-m}{a-m}<\dfrac{b}{a}<\dfrac{b+m}{a+m}\)
• \(a, b, c, d>0, \dfrac ba<\dfrac dc\)，则 \(\dfrac ba<\dfrac{b+d}{a+c}<\dfrac dc\)

【均值不等式】【柯西不等式】【权方和不等式】

• \([\dfrac 1n\sum a_i^{-1}]^{-1}\le\sqrt[n]{\prod a_i}\le \dfrac 1n\sum a_i\le [\dfrac 1n\sum a_i^2]^{\frac12}\)（取等条件 \(a_1=a_2=...=a_n\)）
• ...

【对数均值不等式】

• \(x>y>0 \to \sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}<\dfrac{x+y}{2}\)

【泰勒系列不等式】

1. \(e^x\ge x+1\)（\(x=1\) 时取等）；\(e^x\ge 1+x+\dfrac12x^2\)
   • \(e^x\ge\sum_{i=0}^\infin\dfrac{x^i}{i!}\)
2. \(e^x\ge ex\)
3. \(x-1\ge \ln x\ge 1-\dfrac1x\)
4. \(-\dfrac{1}{ex}\le \ln x\le\dfrac xe\)
5. \(\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)\le\ln x\quad(0<x\le 1), \ln x\le\dfrac12(x-\dfrac1x)\quad(x\ge 1)\)
6. \(x\ge\sin x\quad(x\ge 0)\)
7. \(\tan x\ge x\ge \sin x\quad(x\in[0, \dfrac\pi2])\)
8. \(\cos x\ge 1-\dfrac{x^2}{2}\)（\(x\in\R, x=0\) 时取等）
9. \((1+x)^a\ge 1+ax\quad(x\ge -1)\)

【其他不等式】

• 绝对值不等式：\(||a|-|b||\le|a-b|\le||a|+|b||\)
• 琴生不等式：若 \(f(x)\) 为区间 \(D\) 上的下凹函数，\(x_1, x_2, ..., x_n\in D\)，则有 \(f(\overline x)\le\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)\)（所有 \(x_i\) 相等时取等）

\(\rm VI\) 特殊题型：构造函数、微分方程

用于解 \(f(x)\) 和 \(f'(x)\) 混合的方程或不等式。

\(\it 6.1\) 构造得到某个函数单调性

没啥说的了，直接扔构造表。

• 原函数是函数的和差组合：
  • 对于 \(f'(x)>g'(x)\)，构 \(h(x)=f(x)-g(x)\)。
  • 对于 \(f'(x)>a\)，构 \(h(x)=f(x)-ax+b\)。
  • 对于 \(af'(x)+bg'(x)>0\)，构 \(h(x)=af(x)+bg(x)\)。
• 原函数是函数乘除组合：
  • 对于 \(f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)。
  • 对于 \(f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)
• 原函数是函数与 \(x\) 的乘除组合：
  • 对于 \(x\cdot f'(x)+f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=xf(x)\)
  • 对于 \(x\cdot f'(x)+kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=x^nf(x)\)
  • 对于 \(x\cdot f'(x)-f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{x}\)
  • 对于 \(x\cdot f'(x)-kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}\)
• 原函数是函数与 \(e^x\) 的乘除组合：
  • 对于 \(f'(x)+f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot e^x\)
  • 对于 \(f'(x)+kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot e^{nx}\)
  • 对于 \(f'(x)-f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}\)
  • 对于 \(f'(x)-kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{nx}}\)
• 原函数是函数与\(\sin x(\cos x)\)的乘除组合：
  • 对于 \(f(x)\sin x+f'(x)\cos x>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{\cos x}\)
  • 对于 \(f(x)\sin x-f'(x)\cos x>0(<0)\)，构 \(h(x)=-f(x)\cdot\cos x\)
  • 对于 \(f(x)\cos x+f'(x)\sin x>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot\sin x\)
  • 对于 \(f(x)\cos x-f'(x)\sin x>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{\sin x}{f(x)}\)
• 对于 \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}>0(<0)\)，分类讨论：
  • 若 \(f(x)>0\)，构 \(h(x)=\ln f(x)\)
  • 若 \(f(x)<0\)，构 \(h(x)=\ln(-f(x))\)

\(\it 6.2\) 解微分方程

\(\rm VII\) 其他题型分类 | 常用技巧

\(\it 7.1\) 数列不等式

核心：差分

• 基本方法：比较通项。 注意！比较通项时，左边有多少项，右边就只能看成前多少项的和或积。
• 两边都有 \(n\) 时，连加型：把右边看成若干项的和（拆分，如 \(\ln n=\ln(n-1)+\ln\dfrac{n}{n-1}\)）
• 连乘型：把右边看成若干项的积，比通项（或者取 \(\ln\) 变连加）,
• 在综合题中，注意利用前一问的提示在待证不等式中放缩通项。当右侧为常数时，不能用通法，只能参考前一问不等式放缩。

\(\it 7.2\) 三次函数

已知 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

• \(f'(x)=3ax^3+2bx+c\) 导函数为二次函数 \(\Delta=4b^2-12ac\)
• 对称中心（导函数对称轴）：\((-\dfrac{2b}{3a} f(-\dfrac{2b}{3a}))\)
• 极值点：导函数零点
• \(\Delta >0\) 时函数有两个极值点；\(\Delta\le 0\) 时函数单调无极值点；\(x\to\infin\) 时正负取决于 \(a\) 的值。
• 切线问题：略

\(\it 7.3\) 常见导数小题考察内容、切线问题

公切线？

【距离的最值问题】

• 标志形如 \((a-b)^2+(c-d)^2\) 的式子。
• 求法：
  • 直线到曲线：切点处最短
  • 圆到曲线：扩大圆的半径至相切，利用此时的公切线求解
  • 反函数之间的距离：即为到对称轴（一般为 \(y=x\)）距离只和
  • 任意曲线之间：主元法，但基本不考

【三角形边长问题】

• 若对 \(\forall a,v,c \in D\) ，\(f(a), f(b), f(c)\)均可作为一个三角形的边长，则 \(2f(x)_{\min}>f(x)_{\max} (x\in D)\)

【双参数恒成立问题】

• 题型：已知 \(ax+b\le f(x)\) 或 \(ax+b\ge f(x)\) 恒成立，求 \(\dfrac ba,\dfrac{m_1b+m_2}{m_1a+m_2},ma+nb,ab\) 等式子的最值

主要方法：

1. 几何意义法（优先使用）：许多式子都有几何意义，例如：
   • \(\dfrac ba\) 直线和 \(x\) 轴交点横坐标的相反数
   • \(\dfrac{b-3}{a+2}\)：直线和直线 \(-2x+3\) 交点横坐标的相反数
   • \(ma+nb\)：直线和 \(x=\dfrac mn\) 交点纵坐标的 \(n\) 倍
   • 注意拐点。
2. 代数法：主元大法好

\(\it 7.4\) 估算体系、泰勒展开

【方法体系】（从常用到偏僻）

1. 粗算：利用估算值计算（变量差距较大，或者有明显能够分出大小的性质（例如一个大于 1，一个小于 1））
2. 构造函数（同构），导之。
3. 如果是式子比较大小，可以考虑赋值投机。
4. 尽量将变量化为类似的形式。
5. 咕咕咕？

为了尊重 \(\tt\bf 石\ 石^石_石\)，我决定将他的 key structure copy 下来：

1. 粗比（估算）：先按照与 \(0, 1\) 或其他数的大小关系分类，此法非常适合关系疏远的数的比较。
2. 利用单调性：形式特别类似的式子，构造函数利用单调性比较大小。
3. 利用函数：把数字改成 \(x\)，利用函数放缩、运算和图像比大小。
4. 把比较的对象变形，尽量形式接近然后比较，如 \(2^{0.5}, 3^{0.4}\)。
5. 找桥梁：两个数字关系不好找时，找一个桥梁然后比大小，如 \(0.8^{0.9}, 0.9^{0.8}\)。
6. 作差法比大小：此法适用于式子比大小，使用时要注意利用函数的性质。
7. 几何意义：此法适用于有几何意义的式子或零点之间比大小。
8. 利用基本不等式：适用于复杂的三角函数，如 \(\sin x < x < \tan x\)。
9. 举例子投机：适用于含有字母的式子比大小。

【秘术】泰勒 & 麦克劳林

• 常用公式：（下面这些 \(x\) 越接近 \(0\) 时越精确）（建议 \(|x|\le 0.1\)）（往后的项数越多就越精确）
• \(e^x = \sum_{i = 0}^\infin \dfrac{x^i}{i!} \to x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + ...\)
• \(\ln(x + 1) = \sum_{i = 1}^\infin (-1)^{i-1}\times \dfrac{x^i}{i}\to x - \dfrac12x^2 + \dfrac13x^3 - \dfrac14x^4+...\)（手撕所有 \(\log\) 的秘诀）
• \(\sqrt{x + 1} = 1 + \dfrac12x - \dfrac18x^2 + \dfrac1{16}x^3\)（好奇怪诶）
• \(\sin x=\sum_{i=0}^\infin\dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1} \to x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-...\)
• \(\cos x=\sum_{i=0}^\infin\dfrac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i} \to 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-...\)

【秘术】帕德逼近

• 若 \(x\in [-2, 2]\)，则 \(e^x \approx \dfrac{x^2 + 6x + 12}{x^2 - 6x + 12}\)。

【常用估算值】

• 见附录 \(\it N.2\)

\(\it N\) 附录

\(\it N.1\) 图像信息

【特殊结论】

1. \(x\to -\infin\) 时，\(e^x\) 相比 \(-\dfrac{1}{x}\) 更接近于 \(x\) 轴。同理 \(\ln x\) 相比 \(-\dfrac{1}{x}\) 更接近于 \(y\) 轴。
2. \(e^x\) 和 \(\ln x\) 的图像关于 \(y=x\) 对称。
3. 在函数 \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) 中，\(f(2)=f(4)\)。

【常用函数图像和不等式可视化】

• \(x\ln x, \dfrac{x}{\ln x}, \dfrac{\ln x}{x}, xe^x, \dfrac{x}{e^x}, \dfrac{e^x}{x}\)
• \(\ln x\le x-1, e^x\ge x+1\)
• \(\dfrac{\ln x}{x+1}<\dfrac{x-1}{2}\lrArr 2\ln x<x^2-1\)
• \(\dfrac{x}{x+1}\le \ln(x+1)\le x\)
• \(\begin{cases}\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x>1)\\\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x<1)\end{cases}\)
• \(\begin{cases}x-\dfrac{1}{x}<2\ln x(0<x<1)\\x-\dfrac{1}{x}>2\ln x(x>1)\end{cases}\)

\(\it N.2\) 常用估算值

• \(e = 2.718281828\)
• \(\ln 2 = 0.693\to 0.7\)
• \(\ln 3 = 1.098\to 1.1\)
• \(\ln 5 = 1.609\to 1.6\)
• \(\ln 10 = 2.302\)
• \(e^2 = 7.389\)
• \(e^3 = 20.085\)
• \(e^{-1} = 0.367\)
• 注意 \(\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}\)
• \(\pi = 3.1415926535\)
• \(\pi^2 = 9.869\)
• \(\pi^{-1} = 0.318\)
• 形如 \(0.2^{0.1}\)：尝试 \((0.2^{0.1})^{10}\) 或者 \(\ln(0.2^{0.1})=0.1\ln0.2\)
• \(\sin 1 = 0.841, \cos 1 = 0.540\)

\(\it N.3\) 补充说明

【\(\it 4.4.1\)】

• 由此可以 yy 出一个比较逆天的解法：
  • 对于一个标准的极值点左偏形式，\(f(x_1)=f(x_2)\)，函数下凹，极值点 \(x_0\)，欲证明 \(x_1+x_2>2x_0\)。
  • 众所周知根据导数的基本定义 \(f'(x)=\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) 有 \(f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)\cdot\text dx\)，即导函数曲线下面积！
  • 而一般原函数凹凸性质会比较好，那么我们就可以证明面积相等时左侧的 \(\Delta x\) 小于右侧的 \(\Delta x\)（或者是相等的 \(\Delta x\) 不同的曲线下面积）。

【\(\it 4.4.4\)】

• 常用极值点偏移不等式：
  • 对数均值不等式 \(\sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}<\dfrac{x+y}{2}\)
  • \(\dfrac{2(x-y)}{x+y}\le \ln x-\ln y\le\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}\)

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“探路”

“探路”指引方法体系的使用

三角函数基本没有很好的性质，一般是放缩

\(x-\sin x>0\)

导数题 \(n\) 管齐下