重学导数 | 第 1 版

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$$\tan(n\theta)=[(\dfrac{1+\text i\tan\theta}{1-\text i\tan\theta})^{n-1}\cdot(\dfrac1{\tan\theta+\text i}+\dfrac{\text i}2)-\dfrac{\text i}2]^{-1}-\text i \\ \forall \theta, n\in\R$$

还有这个

$\boldsymbol{Derivative}$

by djs. latest update: 2023.09.07

$\textsf{Pre-Part | General Solution}$

导数只是用来描绘分析函数的工具，所以导数题仍然只是科技下的函数题。函数是方程和不等式的中间产物，函数的零点是方程，函数的极值点是不等式。

【一般而言的导数题解题步骤】

1. 得到函数，初步化简。（更好地求导？）或者先宏观分析
2. 求导，得到（导函数不好处理怎么办？）
   1. 极值点
   2. 单调性
   3. 切线信息
3. 利用导数 + 原函数特殊点获得原函数的信息
   • 图像直观分析
4. 应用于解题（两方面：方程向、不等式向）
5. 剩下的就是：代数式处理技巧、方法使用技巧细化

导数不能解析函数，他所提供的都是函数的特殊性质，做不到像二次函数那样完全解析出来。所以做题依靠的也是特殊性质。

观察已有函数（死的函数）的性质（图像）是比较重要的，因为这样往往能发现突破点。结合图像，思考要证的结论如何产生，直观理解、直观证明后有助于做题。探路、整体宏观把控函数的性质和走向是发掘函数隐藏性质的重要手段。很多题往往都是先预判再证明，或者说，乱搞出来的。

$\rm I$ 导数基础

$\it 1.1$ 基本求导法则

【初等函数导数表】

原函数	导函数
$y=c$	$y'=0$
$y=x^a$	$y'=ax^{a-1}$
$y=a^x$	$y'=a^x\ln a$
$y=\log_ax$	$y'=\dfrac{1}{x\ln a}$
$y=\sin x$	$y'=\cos x$
$y=\cos x$	$y'=-\sin x$
$y=e^x$	$y'=e^x$
$y=\ln x$	$y'=\dfrac 1x$
$y=\sqrt x$	$y'=\dfrac{\sqrt x}{2x}$
$y=x\ln x$	$y'=1+\ln x$
$y=xe^x$	$y'=(x+1)e^x$

【求导法则】

1. 加减 $[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$
2. 乘法 $[f(x)\cdot g(x)]'=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)$
3. 除法 $[\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\dfrac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$
4. 复合函数求导 $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
5. 其他法则 $\{[f(x)]^{g(x)}\}'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\ln f(x)+g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}]$？？？

$\it 1.2$ 洛必达法则

• $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
• $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
• $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
• 满足条件即可反复使用

注意事项

• 必须是 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$，否则会出错。
• 两函数相乘转化为相除。
• （结论）$x\rightarrow \infty$ 时，变化快慢分等级：$e^x>x^a>\ln x$

$\rm II\textsf{ General Tricks}$ 函数性质观察、代数性质、几何意义

$\it 2.1$ 导数背景下代数式处理技巧

【对数单身狗、指数找朋友】

• 对于 $[f(x)\cdot \ln x]'=f(x)\cdot \dfrac1x+f'(x)\cdot\ln x$，求导之后式子仍然含有 $\ln x$，不方便处理，故在将式子初步变形时可以考虑将 $\ln x$ 孤立，使其作为函数的加减项，求导之后式子就不会含有 $\ln x$。【对数单身狗】
• 对于 $[f(x)\cdot e^x]'=[f(x)+f'(x)]\cdot e^x$，此时对于导函数找零点、看正负时就不会再有 $e^x$，故若整个函数表现为 $e^x$ 乘除另一个函数，那么该函数的导数性质就会较好。【指数找朋友】
• 这些操作的目的在于简化计算，避免多次求导

【指数对数的齐次观察】

• $e^x\cdot e^y=e^{x+y}$：指数乘除变加减
• $\ln x+\ln y=\ln xy$：对数加减变乘除
• 剩下的多项式部分就按照一般的齐次化流程操作即可。

【复杂指数取对数】

• 字面意思，也有复杂对数取指数的。
• 连乘取 $\ln$ 变连加。

【三角函数】

• 碰到三角函数与指数对数混合，一定要分开（分组，或者画个图），因为三角函数的运算性质与指数对数一点关系没有。
• 可以适当考虑把三角函数放缩掉（遇到稍微难处理一点的基本都是放缩）。
• 碰到三角函数一定要精细讨论，不要大意。

多变量对称式：相互分离，构造函数。（还有齐次消元或主元）

$\it 2.2$ 快速区分极大值极小值

1. 如果函数能因式分解一定要因式分解（最优先）
2. 观察函数的性质，宏观把控（单调性、图像分析、式子分块）
   • 最常用的方法，一般是丁真法模拟附近函数的走向
3. 放缩观察
4. 二次求导判断零点处切线斜率（优先级较低）
5. 隐零点观察

$\it 2.3$ 函数作图

函数作图是宏观把控函数性质、观察放缩的重要途径。

【函数作图步骤】

• 基本：定义域、零点（如果能看出来）、大致判断单调性和增长趋势（分出数量级的差别），为的是建立直观感受。
• 基本：特殊点的值（如 $0, 1, e$ 等等）、无穷远出的值、要用洛必达法则计算的点的值；其他一些特殊性质（对称性、周期性等）。
• 求导后：具体单调性、极值点、函数具体走向；特殊位置的切线。
• 进阶：利用二阶导研究函数凹凸性以及拐点。
  • 二阶导决定原函数导数的性质，$f''(x)>0$ 等价于原函数下凹。拐点即函数凹凸性发生变化的临界点，即 $f''(x)=0$
  • 拐点处的切线是一种特殊的切线（一段原函数在切线下面另一端却在上面）。

【常用函数的图像信息】

• 见附录

$\it 2.4$ 必要性探路

对于某些问题（如恒成立），我们可以带入特殊点的值进行探路计算，解出题目的一个必要条件，作为参数分类的标准或进行后续放缩。某些点带入后往往就是最终答案。

端点效应一般跟函数单调性和凹凸性有很大的关系，对单调性较好的函数使用必要性探路可能效果会更好。

【洛必达探路】

• 计算需要使用洛必达法则的点的取值。
• 常配合分离参数使用。
• 使用洛必达算出来的值很可能是正确答案。

【特殊点探路 - 端点效应】

• 带入函数定义域 $[a, b]$ 的端点进行计算。
• 带入特殊点进行计算。如 $0, 1, e$。

【注意事项】

• 某些点可能带出来的结果是 $f(x_0)\ge g(x_0)\to0\ge 0$ 的形式，这个时候就需要进一步比较 $f'(x_0)$ 和 $g'(x_0)$ 的大小（可以反复比较下去）。
  • 其实也就是分离参数后的洛必达探路。

警惕必要性探路失效！

$\it 2.5$ 参数处理方向

• 最不利原则（主元）
  • 本质是贪心。常常表现为主元。在自由度 $>1$ 时使用。
  • 将参数向“最不利”的方向放缩。
• 分离参数
  • 对式子做变形，将参数分离出来，对剩下的式子作分析。
  • 注意式子过于复杂时慎用。
• 求导，建立参数 - 极值点方程消元
  • 求导后会得到一个关于参数 $a$ 和原函数极值点 $x_0$ 的等式。可以利用此方程消元或变换主元为 $x_0$ 进行剩余的研究。
• 直接求导硬证
  • 伴随繁杂的分类讨论，而且很多函数的极值点求不出来。慎用。
• 几何意义型
  • 当参数单独出现或作为直线的斜率时，此时参数被赋予了较好的几何意义。结合图像分析。

$\it 2.6$ 同构

精妙的解法。

$\it 2.6.1$ 原理

同构，即将目标式 $F(x)$ 通过变形化为若干个 $f(g(x))$ 的形式，达到大大简化问题的效果。同构与直接展开代数式相反，是代数式逆向构造代数式的过程，糅合了构造思想，难度较大，故熟练掌握同构需要经验的积累。

$\it 2.6.2$ 导数同构背景下的代数式观察

【指幂对幂】

• 当代数式同时出现指数部分和对数部分时，往往求导会很繁杂，而绝大部分的同构的原式都是指幂混合或对幂混合的。故出现指-幂-对-幂结构且出现相似代数式时可以考虑观察同构。
• 当只出现指数和对数而缺少幂函数时，可以根据情况考虑补充幂函数。指数对数同时出现时观察是否能够同构。
• 某一块式子反复出现时考虑同构。

【指对同构】

• 同构标志之一，常见形式为 $e^x$ 乘除、$\ln x$ 加减。即任意一个数都可以写成 $x=e^{\ln x}=\ln(e^x)$。
• $A\cdot e^x \to e^{x+\ln A}$ 构造 $x+\ln A$，乘除变加减（$\dfrac{e^x}{A}$ 同理）。
• $A+\ln x \to \ln(e^Ax)$，加减变乘除（减法同理）。
• $e^{2x}=(e^x)^2$ 有幂次，不要被其表面形式骗了。

要么凑 $f(g(x))\ge 0$，要么凑 $f(g(x))\ge f(h(x))$。

$\it 2.6.3$ 常见同构函数

• $xe^x\to\ln x\cdot e^{\ln x}=x\ln x$
• $xe^x=e^{x+\ln x}\lrarr x+\ln x$
• $e^x+x\lrarr x+\ln x$（经典指幂对幂，通常是两边 $+x$ 得到的）

$\rm III$ 含参恒成立问题

一类特殊的题型

$\it 3.1$ 多变量含参恒成立问题 - 条件翻译

【恒成立条件翻译】

• 几何意义型
  • 凹 / 凸函数：二阶导相关
• $\forall x_1,x_2\in A, |f(x_1)-f(x_2)|\le t\quad\to\quad f_{\max}-f_{\min}\le t$ 类似情况
• $\forall x_1\in A, \exist x_2\in B, f(x_1)\ge g(x_2)\quad\to\quad f_{\min}\ge g_{\min}$ 类似情况
• $\forall x_1\in A, \exist x_2\in B, f(x_1)=g(x_2)\quad\to\quad$ $f(x)$ 值域 $\subseteq$ $g(x)$ 值域 类似情况
• 一个细节：告诉最小值是多少 $\lrArr$ 原式大于最小值且能取等。（方便操作）

$\it 3.2$ 单变量恒成立问题方法体系

• 最先完成：必要性探路、端点效应、基本的不等式代数变形
• 优先级 $\rm A$：若端点效应成立（凭感觉和图像），则放缩参数值取等出，转化为不等式证明题。
• 优先级 $\rm A$：同构，能大大函数的分析问题（式子过于复杂时慎用）。
• 优先级 $\rm B$：对原函数进行代数变形后求导，建立参数 $a$ 与导数零点（原函数极值点）$x_0$ 的方程，消元变换主元为 $x_0$ 研究新函数 $F(x_0)$（往往与上一个方法有异曲同工之妙）。
• 优先级 $\rm C$：对原函数进行代数变形后求导，分类讨论参数的取值，进行求解。

$\rm IV\ \star$ 方程与零点

函数的零点是方程。

$\it 4.1$ 方程相关 $\textsf{General Solution}$

函数和方程是什么关系？函数本质上是动态的单个代数式，函数的零点（或两函数交点）就是方程的根。所以，面对超越函数的不可解式子时，我们可以尝试运用函数的特点（单调性）获得方程的根的一些信息。

方程优于函数的一点就是可以在等号两边自由变换。

当你列出变量之间的关系式或方程组时，你应当意识到，你在解方程。

总而言之，导数背景下的方程（组）都是走的消元路线，多个元通过复杂的带指数对数的式子相等是没法处理的。

【主要 gs】

• 挑简单的变量消元，变换问题的主元。
• 可以利用已知的等式，在各元素之间进行等价代换，简化式子的形式（我称之为 形式变换 | 消元）。
• 方程组之间可以通过互相加减乘除、联立整体变换创造新的方程，是列式消元的重要途径。常用的方程组变换有加减配合、乘除配合等等。
• 消元完毕留下的元可能不是原来的 $x_1$ 或 $x_2$，很有可能是差值 $x_2-x_1$ 或比值 $\dfrac{x_2}{x_1}$ 等等。
• 证明方程根相关不等式可能需要配合放缩。
• 注意！一个方程组无法做到消元（仍是超越方程）时尽量做到变量的分离（即 $g(k)=f(x)$ 的形式），考虑单调性。

$\it 4.2$ 隐零点相关

得到导函数后，我们需要解出其零点。导函数的零点解不出来也猜不出来怎么办？隐零点即将零点设为 $x_0$，带入原式整体代换使用。本质是将零点的信息隐藏在一个方程中。

隐零点属于“方程”范畴的技巧，将一个具体的 $x_0$ 的值替换成一个方程使用。注意多变量零点等式（处理含参函数）时的消元作用（隐零点代换）。

【隐零点放缩】

• 对于一些求不出来的零点，我们可以求出零点大致的范围，然后赋予该零点一定的自由度（同时代换），以此证明一些并不卡死的不等式。
• 代换方向：超越函数 $\to$ 多项式函数

【隐零点代换】

• 对于含参的导数求导之后得到的零点的方程，我们可以借助这个方程变换主元，将主元变成根的位置 $x_0$，然后将所有的 $a$ 替换成 $x_0$ 求解。属于消元的范畴。（可以发现这样自由度居然是对的）

注意是否可以将问题转化为其他问题从而不需要导数的零点。

$\it 4.3$ 基本零点问题

【定量分析】

• 如果能解析一个方程零点，那么一定是因式分解 / 求导。
• 分离参数：转化为定函数与水平直线的交点问题。

【定性分析】

• 题型：一般是问有几个零点，证明一些基础的零点相关的不等式。
• 零点存在性定理：用函数单调性判断零点存在
• 方法体系
  1. 分离参数，转化为定函数与水平直线的交点问题（或动直线）
  2. 分析函数，求导根据单调性画图像，结合特殊点分析，运用单调性和零点存在定理（常常需要分段和放缩）。

$\it 4.4$ 极 值 点 偏 移

大 的 要 来 辣 ！

$\it 4.4.1$ 极值点 py 的本质

顾名思义，极值点偏移就是在函数的一段区间内（端点的函数值相等）有一个极值点，在该极值点两侧函数切线斜率变化速率不一样，导致了极值点偏离区间中点。

极值点偏移题型标准形式：给出一个函数（含参），求证一个零点不等式。（类似的还有中点导数等等）

【瞎扯】

• 见附录【瞎扯环节】

$\it 4.4.2$ 极值点偏移 $\textsf{General Solution}$

极值点偏移主要有两种方法体系：拆分构造函数；零点方程组代数消元

两种方法的优先级（待定）：

• 函数越复杂，待证式越简单，拆分构造函数越优先。
• 函数越简单，待证式越复杂，代数消元越优先。

$\it 4.4.3$ 拆分构造

适用于待证式较简单时，例如：

• $x_1+x_2>A$
• $x_1x_2>B$
• $x_1+x_2>f(a)$

一般转化为 $x_1>\dfrac{f(a)}{x_2}$，确保 $x_1$ 和 $\dfrac{f(a)}{x_2}$ 两点在原函数的同一单调区间中，转化为 $0=F(x_1)>F(\dfrac{f(a)}{x_2})$，构造新的函数证明不等式（注意单调性，一般是单调的）。

注意不要忽略 $f(x_1)=0$ 这类条件，有可能可以利用其等式消去参数。若待证式中有参数 $a$ 出现且式子复杂（主要是那种令人匪夷所思的情况），则需要考虑根据具体情况适当拟合和放缩。

$\it 4.4.4$ 代数消元

4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.

指将零点的全部信息包含在方程组 $\begin{cases}f(x_1)=0\\f(x_2)=0\end{cases}$ 中（此时自由度为 $1$），用特有的方法消元。

1. 构造方程组 $\begin{cases}f(x_1)=0\\f(x_2)=0\end{cases}$（含有参数）。
2. 通过方程组变换（加减乘除，一般 $e^x$ 相关是差值换元，方程组加减；$\ln x$ 相关是比值换元，方程组乘除）消去参数的值。若实在不能消去可以考虑分离变量，研究其单调性。
3. 设出最终形式的元（例如差值换元就设 $k=x_2-x_1$，比值换元就设 $k=\dfrac{x_2}{x_1}$），将 $x_2$ 代换为 $k$ 值，将消掉的参数带入待证式，确保得到一个新函数 $g(k)$，进而研究新函数 $g(k)$ 的性质。
4. 需要配合一些不等式使用（构出新函数 $g(k)$ 的时候其实已经转为不等式问题了）。

【极值点偏移常用不等式】

• 见附录

$\rm V\ \star$ 不等式证明

函数的极值是不等式。你猜他为什么压轴出场？

$\it 5.1$ 不等式相关 $\textsf{General Solution}$

函数和不等式是什么关系？函数本质上是将单个代数式放在动态的环境中研究，那么自然地，函数的极值点就对应到不等式的最值。而导数作为研究函数的工具，加你个原函数的极值点转为导函数的零点，从而可以获得函数的一些性质，处理超越函数（万恶之源）。求解不等式时需要使用多种导数技巧。

注意区分：能直接用导数解析的代数式（利用极值点或单调性），导数不好需要放缩的；需要严格取等的不等式，有放缩余地的不等式。

导数背景下的不等式证明主要走的是消元路线，直接运用不等式的很少。

$\it 5.2$ 常规不等式处理流程

今日命题：如何证明一个又 $\exp$ 又 $\ln$ 的不等式？

【不等式基本处理流程】
拿到一个不等式：$f(x)\ge g(x)$

1. 多元吗？先消元，自由度高的先主元。
2. 首先做基本代数变形，如两边同乘同除，将 $e^x$ 或 $\ln x$ 换元，【指数找朋友、对数单身狗】等等。
3. 观察（其实是宏观掌握函数的性质）。
   • 作出图像观察函数（若图像较简单），配合函数的各种性质分析（前文）。
   • 留意取等处和特殊点的切线。
   • 对计算量小的可以直接求导。如果导数零点方程比较简洁看看能不能用隐零点。
   • 不好画整个图像的，可以抽象处若干“母函数”，将原函数变为这些函数的加减乘除，借以分析原函数。或将原不等式分成几个部分，分别证明。【拆分计算】
   • 使用其他技巧转化代数式，如同构。
4. 无法直接证明（经过求导 + 基本代数变形），考虑各种放缩。

$\it 5.3$ 放缩

真正的万恶之源。

没有固定的方法，全凭函数的具体性质和做题经验。当然有若干固定的模式可以参考。

大体的规律和方法有：

1. 放缩基本上根据图像宏观把控、取等位置、导数切线斜率构造放缩。
2. 函数加减型放缩：图像分析“隔离折线”。
3. 切线放缩、凹凸反转
   • 对于一个不等式类函数，有两类切线比较重要，一是取等点的切线（不能将取等点放缩掉），二是拐点处的切线。
   • 切线放缩很大程度依靠函数的凹凸性。
   • 取等点处的切线一般有较为重要的参考意义。
   • 所谓拐点就是 $f''(x)=0$ 的点，拐点左右的函数有不一样的凹凸性。
4. 以代数式为主体进行观察，使用经典不等式放缩。

$\it 5.4$ 常用放缩不等式

可以参考一些附录中的函数图像（章节 $\it N.1$）。

【放缩不等式】

• $a>b>0, a>m>0$，则 $\dfrac{b-m}{a-m}<\dfrac{b}{a}<\dfrac{b+m}{a+m}$
• $a, b, c, d>0, \dfrac ba<\dfrac dc$，则 $\dfrac ba<\dfrac{b+d}{a+c}<\dfrac dc$

【均值不等式】【柯西不等式】【权方和不等式】

• $[\dfrac 1n\sum a_i^{-1}]^{-1}\le\sqrt[n]{\prod a_i}\le \dfrac 1n\sum a_i\le [\dfrac 1n\sum a_i^2]^{\frac12}$（取等条件 $a_1=a_2=...=a_n$）
• ...

【对数均值不等式】

• $x>y>0 \to \sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}<\dfrac{x+y}{2}$

【泰勒系列不等式】

1. $e^x\ge x+1$（$x=1$ 时取等）；$e^x\ge 1+x+\dfrac12x^2$
   • $e^x\ge\sum_{i=0}^\infin\dfrac{x^i}{i!}$
2. $e^x\ge ex$
3. $x-1\ge \ln x\ge 1-\dfrac1x$
4. $-\dfrac{1}{ex}\le \ln x\le\dfrac xe$
5. $\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)\le\ln x\quad(0<x\le 1), \ln x\le\dfrac12(x-\dfrac1x)\quad(x\ge 1)$
6. $x\ge\sin x\quad(x\ge 0)$
7. $\tan x\ge x\ge \sin x\quad(x\in[0, \dfrac\pi2])$
8. $\cos x\ge 1-\dfrac{x^2}{2}$（$x\in\R, x=0$ 时取等）
9. $(1+x)^a\ge 1+ax\quad(x\ge -1)$

【其他不等式】

• 绝对值不等式：$||a|-|b||\le|a-b|\le||a|+|b||$
• 琴生不等式：若 $f(x)$ 为区间 $D$ 上的下凹函数，$x_1, x_2, ..., x_n\in D$，则有 $f(\overline x)\le\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)$（所有 $x_i$ 相等时取等）

$\rm VI$ 特殊题型：构造函数、微分方程

用于解 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 混合的方程或不等式。

$\it 6.1$ 构造得到某个函数单调性

没啥说的了，直接扔构造表。

• 原函数是函数的和差组合：
  • 对于 $f'(x)>g'(x)$，构 $h(x)=f(x)-g(x)$。
  • 对于 $f'(x)>a$，构 $h(x)=f(x)-ax+b$。
  • 对于 $af'(x)+bg'(x)>0$，构 $h(x)=af(x)+bg(x)$。
• 原函数是函数乘除组合：
  • 对于 $f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$。
  • 对于 $f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
• 原函数是函数与 $x$ 的乘除组合：
  • 对于 $x\cdot f'(x)+f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=xf(x)$
  • 对于 $x\cdot f'(x)+kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=x^nf(x)$
  • 对于 $x\cdot f'(x)-f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
  • 对于 $x\cdot f'(x)-kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}$
• 原函数是函数与 $e^x$ 的乘除组合：
  • 对于 $f'(x)+f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot e^x$
  • 对于 $f'(x)+kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot e^{nx}$
  • 对于 $f'(x)-f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}$
  • 对于 $f'(x)-kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{nx}}$
• 原函数是函数与$\sin x(\cos x)$的乘除组合：
  • 对于 $f(x)\sin x+f'(x)\cos x>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{\cos x}$
  • 对于 $f(x)\sin x-f'(x)\cos x>0(<0)$，构 $h(x)=-f(x)\cdot\cos x$
  • 对于 $f(x)\cos x+f'(x)\sin x>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot\sin x$
  • 对于 $f(x)\cos x-f'(x)\sin x>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{\sin x}{f(x)}$
• 对于 $\dfrac{f'(x)}{f(x)}>0(<0)$，分类讨论：
  • 若 $f(x)>0$，构 $h(x)=\ln f(x)$
  • 若 $f(x)<0$，构 $h(x)=\ln(-f(x))$

$\it 6.2$ 解微分方程

$\rm VII$ 其他题型分类 | 常用技巧

$\it 7.1$ 数列不等式

核心：差分

• 基本方法：比较通项。 注意！比较通项时，左边有多少项，右边就只能看成前多少项的和或积。
• 两边都有 $n$ 时，连加型：把右边看成若干项的和（拆分，如 $\ln n=\ln(n-1)+\ln\dfrac{n}{n-1}$）
• 连乘型：把右边看成若干项的积，比通项（或者取 $\ln$ 变连加）,
• 在综合题中，注意利用前一问的提示在待证不等式中放缩通项。当右侧为常数时，不能用通法，只能参考前一问不等式放缩。

$\it 7.2$ 三次函数

已知 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

• $f'(x)=3ax^3+2bx+c$ 导函数为二次函数 $\Delta=4b^2-12ac$
• 对称中心（导函数对称轴）：$(-\dfrac{2b}{3a} f(-\dfrac{2b}{3a}))$
• 极值点：导函数零点
• $\Delta >0$ 时函数有两个极值点；$\Delta\le 0$ 时函数单调无极值点；$x\to\infin$ 时正负取决于 $a$ 的值。
• 切线问题：略

$\it 7.3$ 常见导数小题考察内容、切线问题

公切线？

【距离的最值问题】

• 标志形如 $(a-b)^2+(c-d)^2$ 的式子。
• 求法：
  • 直线到曲线：切点处最短
  • 圆到曲线：扩大圆的半径至相切，利用此时的公切线求解
  • 反函数之间的距离：即为到对称轴（一般为 $y=x$）距离只和
  • 任意曲线之间：主元法，但基本不考

【三角形边长问题】

• 若对 $\forall a,v,c \in D$ ，$f(a), f(b), f(c)$均可作为一个三角形的边长，则 $2f(x)_{\min}>f(x)_{\max} (x\in D)$

【双参数恒成立问题】

• 题型：已知 $ax+b\le f(x)$ 或 $ax+b\ge f(x)$ 恒成立，求 $\dfrac ba,\dfrac{m_1b+m_2}{m_1a+m_2},ma+nb,ab$ 等式子的最值

主要方法：

1. 几何意义法（优先使用）：许多式子都有几何意义，例如：
   • $\dfrac ba$ 直线和 $x$ 轴交点横坐标的相反数
   • $\dfrac{b-3}{a+2}$：直线和直线 $-2x+3$ 交点横坐标的相反数
   • $ma+nb$：直线和 $x=\dfrac mn$ 交点纵坐标的 $n$ 倍
   • 注意拐点。
2. 代数法：主元大法好

$\it 7.4$ 估算体系、泰勒展开

【方法体系】（从常用到偏僻）

1. 粗算：利用估算值计算（变量差距较大，或者有明显能够分出大小的性质（例如一个大于 1，一个小于 1））
2. 构造函数（同构），导之。
3. 如果是式子比较大小，可以考虑赋值投机。
4. 尽量将变量化为类似的形式。
5. 咕咕咕？

为了尊重 $\tt\bf 石\ 石^石_石$，我决定将他的 key structure copy 下来：

1. 粗比（估算）：先按照与 $0, 1$ 或其他数的大小关系分类，此法非常适合关系疏远的数的比较。
2. 利用单调性：形式特别类似的式子，构造函数利用单调性比较大小。
3. 利用函数：把数字改成 $x$，利用函数放缩、运算和图像比大小。
4. 把比较的对象变形，尽量形式接近然后比较，如 $2^{0.5}, 3^{0.4}$。
5. 找桥梁：两个数字关系不好找时，找一个桥梁然后比大小，如 $0.8^{0.9}, 0.9^{0.8}$。
6. 作差法比大小：此法适用于式子比大小，使用时要注意利用函数的性质。
7. 几何意义：此法适用于有几何意义的式子或零点之间比大小。
8. 利用基本不等式：适用于复杂的三角函数，如 $\sin x < x < \tan x$。
9. 举例子投机：适用于含有字母的式子比大小。

【秘术】泰勒 & 麦克劳林

• 常用公式：（下面这些 $x$ 越接近 $0$ 时越精确）（建议 $|x|\le 0.1$）（往后的项数越多就越精确）
• $e^x = \sum_{i = 0}^\infin \dfrac{x^i}{i!} \to x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + ...$
• $\ln(x + 1) = \sum_{i = 1}^\infin (-1)^{i-1}\times \dfrac{x^i}{i}\to x - \dfrac12x^2 + \dfrac13x^3 - \dfrac14x^4+...$（手撕所有 $\log$ 的秘诀）
• $\sqrt{x + 1} = 1 + \dfrac12x - \dfrac18x^2 + \dfrac1{16}x^3$（好奇怪诶）
• $\sin x=\sum_{i=0}^\infin\dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1} \to x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-...$
• $\cos x=\sum_{i=0}^\infin\dfrac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i} \to 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-...$

【秘术】帕德逼近

• 若 $x\in [-2, 2]$，则 $e^x \approx \dfrac{x^2 + 6x + 12}{x^2 - 6x + 12}$。

【常用估算值】

• 见附录 $\it N.2$

$\it N$ 附录

$\it N.1$ 图像信息

【特殊结论】

1. $x\to -\infin$ 时，$e^x$ 相比 $-\dfrac{1}{x}$ 更接近于 $x$ 轴。同理 $\ln x$ 相比 $-\dfrac{1}{x}$ 更接近于 $y$ 轴。
2. $e^x$ 和 $\ln x$ 的图像关于 $y=x$ 对称。
3. 在函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 中，$f(2)=f(4)$。

【常用函数图像和不等式可视化】

• $x\ln x, \dfrac{x}{\ln x}, \dfrac{\ln x}{x}, xe^x, \dfrac{x}{e^x}, \dfrac{e^x}{x}$
• $\ln x\le x-1, e^x\ge x+1$
• $\dfrac{\ln x}{x+1}<\dfrac{x-1}{2}\lrArr 2\ln x<x^2-1$
• $\dfrac{x}{x+1}\le \ln(x+1)\le x$
• $\begin{cases}\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x>1)\\\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x<1)\end{cases}$
• $\begin{cases}x-\dfrac{1}{x}<2\ln x(0<x<1)\\x-\dfrac{1}{x}>2\ln x(x>1)\end{cases}$

$\it N.2$ 常用估算值

• $e = 2.718281828$
• $\ln 2 = 0.693\to 0.7$
• $\ln 3 = 1.098\to 1.1$
• $\ln 5 = 1.609\to 1.6$
• $\ln 10 = 2.302$
• $e^2 = 7.389$
• $e^3 = 20.085$
• $e^{-1} = 0.367$
• 注意 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
• $\pi = 3.1415926535$
• $\pi^2 = 9.869$
• $\pi^{-1} = 0.318$
• 形如 $0.2^{0.1}$：尝试 $(0.2^{0.1})^{10}$ 或者 $\ln(0.2^{0.1})=0.1\ln0.2$
• $\sin 1 = 0.841, \cos 1 = 0.540$

$\it N.3$ 补充说明

【$\it 4.4.1$】

• 由此可以 yy 出一个比较逆天的解法：
  • 对于一个标准的极值点左偏形式，$f(x_1)=f(x_2)$，函数下凹，极值点 $x_0$，欲证明 $x_1+x_2>2x_0$。
  • 众所周知根据导数的基本定义 $f'(x)=\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 有 $f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)\cdot\text dx$，即导函数曲线下面积！
  • 而一般原函数凹凸性质会比较好，那么我们就可以证明面积相等时左侧的 $\Delta x$ 小于右侧的 $\Delta x$（或者是相等的 $\Delta x$ 不同的曲线下面积）。

【$\it 4.4.4$】

• 常用极值点偏移不等式：
  • 对数均值不等式 $\sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}<\dfrac{x+y}{2}$
  • $\dfrac{2(x-y)}{x+y}\le \ln x-\ln y\le\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}$

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“探路”

“探路”指引方法体系的使用

三角函数基本没有很好的性质，一般是放缩

$x-\sin x>0$

导数题 $n$ 管齐下