$\boldsymbol{Derivatives}\ \rm II$

by djs. latest update: 2024.03.24

梅军一怒振九渊，三千七百二十面，天下寒士俱欢颜！

$\textsf{Pre-Part | Theory}$

书接上回。

微积分理论：微分（导数、变化率）与积分互为逆运算。

在高中数学中，由于有了导数的存在，我们得以接触更复杂的超越函数，因此高中导数就是与超越函数斗智斗勇的过程。

我一言不发。

$\rm I$ 导数基础理解

$\it 1.1$ 导数表

【初等函数导数表】

【求导法则】

1. 加减 $[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$
2. 乘法 $[f(x)\cdot g(x)]'=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)$
3. 除法 $[\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\dfrac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$
4. 复合函数求导 $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
5. 其他 $(f^g)'=[e^{g\ln f}]'$

【洛必达法则】

• $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
• $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
• $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
• 满足条件即可反复使用
• 注意事项
  • 必须是 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$，否则会出错。
  • 两函数相乘转化为相除。
  • （结论）$x\rightarrow \infty$ 时，变化快慢分等级：$e^x>x^a>\ln x$
  • 在书写过程时小心点，防止洛不达。

$\it 1.2$ 高中导数

微积分理论：微分（导数、变化率）与积分互为逆运算。

在高中数学中，由于有了导数的存在，我们得以接触更复杂的超越函数，因此高中导数就是与超越函数斗智斗勇的过程。

【微积分基本公式】

• 对于单元导数，记 $\text dx$ 为变量 $x$ 趋近于 $0$ 的变化量，对此就有了对函数变化率的刻画：对于 $y=f(x)$，记 $f'(x)=\dfrac{\text dy}{\text dx}$，即 $\boldsymbol{\text df(x)=f'(x)\text dx}$。
• 积分是微分的逆运算，对于 $f(x)$ 而言，我们称 $f(x)$ 为其原函数之一（有常数的差别）。对式子 $\text df(x)=f'(x)\text dx$，在左右两边同时积分，就可以得到牛顿-莱布尼茨公式：$\int_L^Rf'(x)\text dx=f(x)|_{L}^R$，由此便衍生出了曲线下面积这一重要概念。从几何的角度出发，原函数 $f(x)$ 在一段区间上的变化量 $\Delta f(x)$ 就是其导数 $f'(x)$ 在相同区间上的曲线下面积。
• 高中似乎对微分方程没啥要求（除了构造函数那一块），但有必要了解一点。

【高中导数能干什么？】

• 对于函数 $f(x)$，其导函数 $f'(x)$ 代表原函数每一处的变化率，也是函数图像每一处的切线。对于 $f'(x)=0$ 处我们称之为极值点，函数的最值在此处产生。同时极值点也是解析函数最值的关键。对于其余 $f'(x)>0$ 或 $f'(x)<0$ 处，我们考虑充分利用函数单调性的性质。换言之，我们能构建一种通用的解析函数的模型，即函数在极值点之间来回增减。当然，当 $f'(x)$ 恒大于或小于 $0$ 时，原函数表现出更特殊的性质。

【极值点】

• 极值点即方程 $f'(x)=0$ 的解，分可解和不可解两种。
  • 若一个 $f'(x)=0$ 的根 $x_0$ 是可以用代数方法解出的，那么存在两种情况。一是该 $x_0$ 来自于幂函数的根（非超越解，基本可解）。二是超越函数取某些特殊值时其刚好能与幂函数相抵消，造成 $f'(x_0)=0$。无论如何，若能解出 $x_0$ 的具体值，那么对解题而言便是极大的帮助。因为此时我们能够算出 $x_0$ 及 $f(x_0)$ 的具体值，进而对函数信息有更精确的把控。
  • 反观那些不可解的根，鉴于我们无法解出其具体值，故该根所有的信息只保存在了原始方程 $f'(x_0)=0$ 中，其信息无法得到充分的利用，故也无法完全解析出 $f(x_0)$ 的值（少数能同构的情况除外）。
• 在高中数学中，题目不可能会要求学生强行解析一个解不出来的超越方程的根（反过来说，若一定要求某个函数的最小值，那么无论多复杂的函数其极值点或端点的值一定可解），只会要求学生对其进行范围的探究（以不等式的形式）。由此衍生出隐零点的模式，即利用方程 $f'(x_0)=0$ 进行反复的代换简化原函数。

$\rm II$ 基本技巧

$\it 2.1$ 超越函数代数技巧集合

【超越函数技巧集合】

1. 函数单调性：$f'(x)>0$，则 $m<n\lrArr f(m)<f(n)$。
2. 同构：整个式子化为诸如 $f(g(x))$ 或 $f(g(x))<f(h(x))$ 的形式。
3. 特殊消元方法：主要针对双变量，如 $t=\dfrac{x_2}{x_1}$, $t=x_2-x_1$ 以及特殊方程组的消元方法。
   • 需要某种特殊的代数结构。
4. 函数分组：针对 $f(x)\sim g(x)$ 的形式，在等号 / 不等号两边同加减 / 乘除 / 取指数、对数的变形方法。进行分组的目的是将相性好（如导函数性质好、有经典性质或放缩、容易一起研究）的函数分在一起研究。如 $e^x$ 乘除、$\ln x$ 加减、三角函数丢一块
5. 隐零点：充分利用方程 $f'(x_0)=0$ 所包含的信息，反复代换。
6. 图像：宏观把控函数的走势，关注特殊位置的值（$x=0, 1, e, ...$）、单调性、极值点、切线、拐点等等。
7. 参数 / 多元的处理：主元（挑简单的）/ 消元（直接消元、特殊消元）/ 放缩（单元放缩、多元不等式）/ 同构 / 探路。
8. 探路：作用是获得一个界限，用于充分探究有关函数的性质。
9. 放缩：分图像 / 代数两方面：
   • 参考图像：能把握放缩的尺度，关注取等条件，实现切线 / 拐点放缩，以及函数拟合。
   • 代数性质：从式子本身为出发点思考，将超越函数放缩为多项式函数，根据具体的情景优化函数的性质。值得注意的是，放缩要有意识地对式子进行化简，尽量得到简单的不等式，或实现消元的功效。
10. 取点：即对方程 / 不等式的一边进行放缩得到新的不等式（通常更简单）
    • 继续配合函数单调性，可以实现对原函数零点的放缩（新的不等式能通过导代数方法解出）。
    • 也有基于代数和几何两个方面，如切割线放缩。

$\it 2.2$ 函数作图

函数作图是宏观把控函数性质的重要途径。

【函数作图】

• 基本：定义域、零点（如果能看出来）、大致判断单调性和增长趋势（分出数量级的差别），为的是建立直观感受。
• 基本：特殊点的值（如 $0, 1, e$ 等等）、无穷远出的值、要用洛必达法则计算的点的值；其他一些特殊性质（对称性、周期性等）。
• 求导后：具体单调性、极值点、函数具体走向；特殊位置的切线。
• 进阶：利用二阶导研究函数凹凸性以及拐点。
  • 二阶导决定原函数导数的性质，$f''(x)>0$ 等价于原函数下凹。拐点即函数凹凸性发生变化的临界点，即 $f''(x)=0$。
  • 拐点处的切线是一种特殊的切线（一段原函数在切线下面另一端却在上面）。

$\it 2.3$ 探路

对于某些问题（如恒成立），我们可以带入特殊点的值进行探路计算，解出题目的一个必要条件，作为参数分类的标准或进行后续放缩处理。某些点带入后往往就是最终答案。端点效应一般跟函数单调性和凹凸性有很大的关系，对单调性较好的函数使用必要性探路可能效果会更好。

【洛必达探路】

• 计算需要使用洛必达法则的点的取值。常配合分离参数使用，使用洛必达算出来的值很可能是正确答案。

【特殊点探路 - 端点效应】

• 带入函数定义域 $[a, b]$ 的端点进行计算。
• 带入特殊点进行计算。如 $0, 1, e$。

【注意事项】

• 如果带出来是 $f(x_0)\ge g(x_0)\to0\ge 0$ 的形式，这个时候就需要进一步比较 $f'(x_0)$ 和 $g'(x_0)$ 的大小（可以反复比较下去）。
  • 其实也就是分离参数后的洛必达探路。

警惕必要性探路失效。

$\it 2.4$ 同构

同构，即将目标式 $F(x)$ 通过变形化为若干个 $f(g(x))$ 的形式（或 $f(g(x))<f(h(x))$），达到大大简化问题的效果。同构与直接展开代数式相反，是代数式逆向构造代数式的过程，糅合了构造思想，难度较大，故熟练掌握同构需要经验的积累。

【常见的同构】

• 指数与对数同时出现，如 $xe^x=e^{x+\ln x}$, $x+2\ln x=\ln(x^2e^x)$。可能需要自行补充（加减、乘除）幂函数部分。
• 代数式有复合函数的痕迹，可将其作为同构的信号，如 $e^x-a\ln(ax-1)+1\sim 0$。
• 过于逆天的式子（反而使人第一时间想到同构），如 $x^4e^{2mx}-[(m+1)x^2-x\ln x+1]xe^{mx}+1\sim 0$。

【其他方面的应用】

• 鉴于同构与复合函数有一定关联，倘若某些不等式隐零点的方程带入原函数往往能够消干净，那么不妨考虑其能否同构。也有先同构再探路的阴间操作（如带入 $x_0+\ln x_0=1$）。

$\rm III$ 恒成立问题

$\it 3.1$ 传统恒成立问题概述

• 恒成立问题，即给定 $f(x, a)\sim 0$，求参数的范围类型的问题，是一类较为基础题型。

【传统的恒成立解法】

1. 分离参数：若 $f(x, a)$ 是关于 $a$ 的一次函数（或关于 $a$ 可解），可以做到将 $a$ 完全分离到不等式的一侧（$g(a)\sim h(x)$），那么就只用研究右侧 $h(x)$ 的范围。
   • 小 trick：在普通的恒成立问题中，若能做到分离参数，那么分离出来的函数 $h(x)$ 的极值点一定是可解析的（至少函数在极值点的值是可解的，极值点方面顶多加同构）。
2. 隐零点：求导，建立 $f'(x)=0$ 的关于 $x_0$ 与 $a$（参数）的不等式进行下一步研究（消元或简化式子）。
3. 直接求导讨论：用的很少。

【若干变式】

• 函数中的参数有范围或是整数的情形：所研究的函数的极值点可能不可解，可以估出范围转化为不等式证明（相当于进行探路获取范围）。

$\it 3.2$ 船新解法

当恒成立问题 $f(x, a)\sim 0$ 中的函数关于参数 $a$ 无法分离，且极值点方程 $f'(x)=0$ 性质不好时，剩下除开乱搞的还有两招：探路、同构。

【必要性探路】

• 所谓必要性探路，即找必要条件再证充分条件。我们在研究函数时可以带入一些特殊的值（端点值、需要使用洛必达的点的值、常见值 $0, 1, e, ...$）。
• 必要性探路是否适用，取决于函数的性质是否适合使用探路。使用探路时需要考虑整个函数极值点、单调性、走势等等因素。
• 当探路的结果为 $0\ge 0$ 时，转而比较导函数的大小，可反复使用。

【同构】

• 如果 $f(x, a)\sim 0$ 中关于参数的分布十分杂乱，难以分离，且整体式子疑似同构，就可以尝试将同构作为首要思路。如 $x^4e^{2mx}-[(m+1)x^2-x\ln x+1]xe^{mx}+1\sim 0$。

$\rm IV$ 函数不等式、放缩

$\it 4.1$ 单元函数处理方法体系

【gs】

• 函数和不等式是什么关系？函数本质上是将单个代数式放在动态的环境中研究，那么自然地，函数的极值点就对应到不等式的最值。而导数作为研究函数的工具，加你个原函数的极值点转为导函数的零点，从而可以获得函数的一些性质，处理超越函数。求解不等式时需要使用多种导数技巧。凡是能解析的就解析，不能解析的就转化或放缩。
• 导数背景下的不等式证明主要走的是消元路线，直接运用不等式的很少。
• 对于一个放缩不等式，其在面向数据做题方面最有用的是其贴合紧密的部分。

求导解析、隐零点、放缩。

现有一函数不等式。名之曰 $f(x)\sim 0$。

1. 求导解析
   1. $f'(x)=0$ 可解：解出极值点的值，精确描绘函数走向。
   2. 导函数恒大于 / 小于 $0$。（多注意一点，导函数没有零点）
2. 隐零点：建立 $f'(x_0)=0$ 的方程，用于研究极值点 $x_0$ 以及 $f(x_0)$ 的性质。亦可研究 $x_0$ 的大致范围。
3. 两边变形 / 分组：改变两边函数的性质，或做一些基本的换元、【对数单身狗、指数找朋友】、加减乘除单项式变形等等（乘除单项式变形的目的是调节次数，便于构造低次数的过度函数，如直线）。主打一个便于求导或能凑出常见放缩式。
4. 函数图像分析
   • 函数图像的职能是对一个表达式在 $x$ 不同时的各种取值进行遍历。对图像的分析能对放缩的尺度有更好的把控。
5. 同构
6. 放缩
7. 分段：将定义域分为不同的若干段对每一段不同的性质进行讨论。

$\it 4.2$ 多元函数及参数的处理

直接消元；特殊消元；放缩消元

1. 直接消元
   • 若对于一个方程 $f(x, a)=0$ 其中有很好的控制关系（单向或双向），那么直接消元为 $a=g(x)$ 即可转化为单元表达式。
2. 特殊消元
   • 若两个变量之间的控制关系复杂难以解析或根本解析不了（如二次关系或超越控制关系），那么对于特定的具有某些特征的方程（组），我们可以尝试一些特殊的消元方法:
   • 韦达，无需多言。
   • 黄金 $n$ 角：$(x_1+x_2), x_1x_2, x_1^2+x_2^2, x_1-x_2$
   • 比值 / 差值消元：取决于方程组消去参数后是否有好的控制关系。
3. 大型不等式
   • 直接运用多元不等式进行放缩。
4. 放缩
   • 使用带有消元性质的放缩或取点。

【超越控制关系如何破解】

1. 函数单调性 $x_1\sim x_2\lrarr f(x_1)\sim f(x_2)$
2. 特殊消元（比值差值、韦达、黄金 $n$ 角）
3. 放缩：将不可解变为可解

$\it 4.3$ 放缩及其衍生用法

什么是放缩？

放缩的方向。取等条件、切线。放缩起消元作用。

【单元函数放缩】

1. 参考几何图像
   • 把握放缩的尺度，尽量做到小尺度的放缩（在放缩式拟合点附近）。关注取等出、特殊切线，构造过渡函数（尤其切割线放缩）。
   • 积累常见的不等式及其图像，在图像中分析不等式的使用。
   • 函数拟合：使用曲线而非直线对原函数进行拟合。
   • 曲线下面积：对导函数和原函数进行分析。
2. 参考代数性质
   • 有些放缩可以消去式子中某些原有的部分，需要根据常见放缩式找到突破口。
   • 函数放缩配合函数单调性转化使用（取点）时，为了让代数式可解以获得更简单的不等式，需要考虑放缩后式子的代数性质。一般将超越函数放缩为多项式函数。

【放缩衍生用法】

1. 不等式放缩：使用对数均值不等式对多个变量进行整体放缩。
2. 取点：配合函数单调性性质对函数的零点 / 极值点进行放缩。

$\it 4.4$ 经典放缩不等式

【指数系】

• 根基：
  • $e^x\ge x+1$（$x\approx 0$ 时近似）
  • $e^x\ge ex$（$x\approx 1$ 时近似）
• 泰勒展开：$e^x\ge \dfrac12x^2+x+1, e^x\ge\dfrac16x^3+\dfrac12x^2+x+1, ...$（$x\approx 0$ 时近似）
• 替换：
  • $x\gets \dfrac xn\rArr e^x\ge\dfrac{e^nx^n}{n^n}$
  • $x\gets x-\dfrac12\rArr e^x\ge \sqrt e(x+\dfrac12)$
  • $x\gets -x\rArr e^x\le\dfrac1{x-1}, x\in(-\infin, 1)$（反比例函数在 $x\approx 0$ 处拟合）
• 放缩为二次函数：
  • $e^x\ge x^2+1(x\ge 0)$
  • $e^x\ge \dfrac12x^2+x+1(x\ge 0)$（$x\approx0$ 近似）
  • $e^x\ge ex+(x-1)^2(x\ge 0)$（很贴近的放缩，$x\approx 1$ 时近似）
  • $e^x\ge\dfrac e4(x_1)^2(x\ge 0)$
• 反比例函数拟合：
  • $e^x\le \dfrac{-1}{x-1}(x<1)$
  • $(2-x)e^x\le 2+x(x\ge 0)$
• $e^x\pm e^{-x}$ 系列：
  • $e^x+e^{-x}\ge x^2+2$
  • $e^x-e^{-x}\ge 2x+\dfrac13x^3$

【对数系】

• 根基：
  • $\ln x\le x-1$（$x\approx 1$ 时近似）
  • $\ln x\le\dfrac xe$（$x\approx e$ 时近似）
• 替换：
  • $x\gets\dfrac1x\rArr 1-\dfrac1x\le\ln x\le x-1\le x^2-x$
• 泰勒展开：$\ln(x+1)\ge x-\dfrac12x^2(x\ge 0)$（$x\approx 0$ 时近似）
• 常见放缩
  • $\ln x\le\sqrt x-\dfrac1{\sqrt x}\le \dfrac12(x-\dfrac1x)(x\ge 1)$（$x\in(0, 1)$ 时不等号反向，$x\approx 1$ 时近似）
  • $\ln x\ge\dfrac{2(x-1)}{(x+1)}(x\ge 1)$（$x\le 1$ 时不等号反向，$x\approx 1$ 时近似）
  • 有一系列更逆天的，但很少用到。

【其他不等式】

• $x\ln x+\dfrac1e>xe^{-x}-\dfrac1e$
• $xe^x\ge x+\ln x+1$（同构）
• $(e^x-1)\ln(x+1)\ge x^2$（同构）

【大型不等式】

• 均值不等式
  • 记 $F(m)=(n^{-1}\sum\limits_{i=1}^na_i^m)^{\frac1m}$（$F(0)\to(\prod\limits_{i=1}^na_i)^{\frac1n}$）
  • $F(m)$ 关于 $m$ 单调递增。
• 对数平均不等式
  • $\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}$
• 琴生不等式

【常见函数】

• $y=x\ln x$
• $y=xe^x$
• $y=\dfrac{x}{e^x}$
• $y=\dfrac{\ln x}{x}$

【函数拟合】

• 函数在极值点 $x=x_0$ 处的二次函数拟合：$y=f(x_0)+\dfrac12f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2$（结合导函数理解）

【三角函数放缩】

• $-1\le\sin x\le 1$; $-1\le\cos x\le 1$（三角函数有界性）
• $x\ge\sin x(x\ge 0)$（$x\approx 0$ 时近似）
• $\sin x\ge x-\dfrac16 x^3(x\ge 0)$（$x<0$ 时不等号反向，$x\in[-\dfrac\pi2, \dfrac\pi2]$ 时近似）
• $\cos x\ge 1-\dfrac12 x^2$（$x\approx 0$ 时近似）
• $\cos x\ge x-\dfrac2\pi x^2(x\ge 0)$（$x\approx\dfrac\pi2$ 时近似）
• $x\sim \tan x$（$x\approx 0$ 时近似）

【取点放缩式参考】

• $\ln x<x$
• $-\dfrac1{\sqrt x}<\ln x<\sqrt x$
• $e^x>x$
• $e^x>x^2(x>0)$
• $e^x>\dfrac16 x^3$
• $e^<-\dfrac1x(x<0)$

$\rm V$ 方程、零点问题

【gs】

• 超越方程就是要另辟蹊径，使用特殊的方法处理。

$\it 5.1$ 取点

【原理】

• 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 内单调递增，且存在一个零点 $x_0$。已知该零点无法通过代数方法解出（超越方程），那么我们为了研究该零点的性质，证明其存在（找到上下界 + 零点存在定理）或将其放缩，可以将对零点值的放缩转化为对函数的放缩。
• 对函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上放缩，得到 $g(x)>f(x)>h(x)$。则我们可以得到不等式：
  • $g(x_0)>0$, $h(x_0)<0$（两个不等式）
  • $g(x_1)=0\rArr x_1<x_0$（通过放缩找到函数 $g(x)$ 使其零点可以通过代数方法解出）
  • $h(x_2)=0\rArr x_2>x_0$（通过放缩找到函数 $h(x)$ 使其零点可以通过代数方法解出）
• 当然，取点也不是只能依靠放缩，也可以直接 intuitive thinking.

【技巧】

• 由于取点与放缩紧密联系（可以看作是将 $f(x_0)=0$ 放缩为 $f(x_0)=0<g(x_0)$ 再解出不等式 $0<g(x_0)$），所以少不了关于放缩的 gs。
• 在面对零点证明问题时，为了让放缩后的函数的零点可解，我们不用过度关注放缩前后函数的贴合与否（只要在单调区间内即可），而是更多关注放缩后函数的代数性质，关注其零点是否可解。故使用的不等式更多偏向简化代数性质。
  • $e^x\ge(\dfrac en)^nx^n$
  • $\ln x\le\dfrac{1}{ne}x^n$
• 在面对零点不等式问题时，我们仍然要像普通放缩一样考虑放缩的尺度。

$\it 5.2$ 零点个数问题

【概述】

• 研究函数零点个数是一类比较基础的导数题。方法相对单一。
  1. 求导并求出极值点，完全解析函数的走势。
  2. 分离参数，变为函数与水平直线相交问题。
  3. 做好取点工作（取的点不一定要是极值点）。对于 $x\to\infin$ 或 $x\to 0$ 但不能取（需洛必达）的点，考虑使用放缩取点。
  4. 分离为 $f(x)=g(x)$ 的方程，绘制图像观察函数走势。

$\it 5.3$ 极值点偏移——零点不等式

$\it 5.3.1$ 方法论

【原理】

• 基础的极值点偏移问题形如 $x_1+x_2\sim 2x_0$（其中 $x_1, x_2$ 为零点，$x_0$ 为极值点）。由于函数在 $x_0$ 两侧增长速率不一样，函数位列极值点左右两侧的零点到极值点的距离有所区别，就造成了 $x_1+x_2\not=2x_0$ 的现象。
• 由基础的极值点偏移而衍生出来的是一大堆有关零点的不等式。

【方法总论】

• 对极值点偏移问题进行分析，我们发现方程 $f(x_1, a)=0$ 为超越方程，参数与零点之间存在的是超越控制关系，无法做到完全解析出来（可能存在 $x_1\to a$ 的单向解析）。这意味着常规多项式背景下的代数体系对超越控制关系不起作用。在极值点偏移问题中，能够跨过超越关系建立变量不等关系的方法分基本的三类：
  1. 函数单调性
  2. 特殊消元
  3. 放缩

【函数单调性】

• 相对通法。适用于待证式较为简单，原函数较为复杂的情形。
• 将待证不等式变形，结合函数单调性性质套用 $x_1<x_2\lrArr f(x_1)<f(x_2)$ 的性质，转而证明函数不等式。对于该种不等式，由于其一般由两个函数 $f(...)$ 组成，可以考虑优先求导（导函数性质好，一般恒大于 / 小于 $0$）而不是一上来就放缩。有时要证过于复杂的式子，慎用。
• 注意充分利用原函数的信息，对于参数可以考虑代换消去（参数一般走消元路线）。
• 对于 $x_1+x_2\sim 2x_0$（$x_0$ 为极值点）的情形，在极值点出构造 $y=f(x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$ 以辅助证明。
• 若要证的不是函数的极值点，有时可以考虑通过对函数适当的变换将待证项变为新函数的极值点。

【特殊消元】

• 通过特殊的消元手段将超越关系的多元消元为单元表达式。如韦达定理（黄金 $\it N$ 角）、比值代换、差值代换。适用于待证式较为复杂，原函数较为简单的情形。
• 完全消元体系：设 $t=x_2:x_1$（对数）或 $t=x_2-x_1$（指数），将 $x_2$ 消为 $x_1$ 与 $t$，尝试利用方程组将 $x_1$ 完全代换为 $t$。典型可以消元的有 $e^x=ax, \ln x=x-a, \ln x=ax$ 等等。
• 《韦达，无需多言》：对于二次函数关系控制的两根 $\to$ 黄金 $\it N$ 角（注意考虑指对的性质）
• 套用对数平均不等式：$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}<\dfrac{x_1+x_2}{2}$
• 遇到非齐次的情况：尝试放缩，调整次数 / 消元，应当谨慎。

【放缩】

• 到处都能用，可以用于待证式正式展开证明之前的放缩，也可用于对零点进行放缩（取点）。主要处理过于不规则的不等式。在放缩时同样需要注意取等条件等等放缩需注意的诸多因素。（先进行等价转换，简化不等式）。若遇到不属于极值点偏移的式子优先考虑放缩。
• 具体过程：
  1. 初步观察：以图像为运筹（面向数据），观察超越函数控制关系的运作，特别注意取等点、极值点，函数的左 / 右倾以及各种值在极限临界处的变化率情况。
  2. 初步调整不等式：
     • 利用已知不等式放缩：如 $x_2>-x_1$，则 $x_2-x_2>-2x_1$ | $x_2>x_1$，则 $\dfrac{x_1+2x_2}{3}>\dfrac{x_1+x_2}{2}$。
     • 大型不等式 / 经典不等式：使用对数不等式长链进行初步放缩。
     • 换元：$t\gets \dfrac1a$；指对方程变换。
  3. 放缩、取点
     • 切割线放缩：寻找切割线放缩，尤其适用于 $x_2-x_1$ 型。
     • 对式放缩（超越 $\to$ 多项式）变为可解不等式（放缩注意事项：在何处拟合）

$\it 5.3.2$ 模板题

1. $e^x=ax$ 式
2. $\ln x=ax$ 式
   • 代数消元适用于证明 $x_1x_2$ 式，对加和型慎用。
3. $\ln x=x-a$ 式
   • $x_1+x_2\in[a+1, \dfrac{4a+2}{3}]$
4. $e^x=x+a$ 式

$\rm VI$ 其他问题

$\it 6.1$ 三角函数技巧

$\it 6.2$ 数列不等式

$\it 6.3$ 三次函数

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

• $f'(x)=3ax^2+2bx+c$

$\it 6.4$ 构造原函数（微分方程）问题

$\it 6.4.1$ 构造表

• 原函数是函数的和差组合：
  • 对于 $f'(x)>g'(x)$，构 $h(x)=f(x)-g(x)$。
  • 对于 $f'(x)>a$，构 $h(x)=f(x)-ax+b$。
  • 对于 $af'(x)+bg'(x)>0$，构 $h(x)=af(x)+bg(x)$。
• 原函数是函数乘除组合：
  • 对于 $f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$。
  • 对于 $f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
• 原函数是函数与 $x$ 的乘除组合：
  • 对于 $x\cdot f'(x)+f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=xf(x)$
  • 对于 $x\cdot f'(x)+kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=x^nf(x)$
  • 对于 $x\cdot f'(x)-f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
  • 对于 $x\cdot f'(x)-kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}$
• 原函数是函数与 $e^x$ 的乘除组合：
  • 对于 $f'(x)+f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot e^x$
  • 对于 $f'(x)+kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot e^{nx}$
  • 对于 $f'(x)-f(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}$
  • 对于 $f'(x)-kf(x)>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{nx}}$
• 原函数是函数与 $\sin x(\cos x)$ 的乘除组合：
  • 对于 $f(x)\sin x+f'(x)\cos x>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{f(x)}{\cos x}$
  • 对于 $f(x)\sin x-f'(x)\cos x>0(<0)$，构 $h(x)=-f(x)\cdot\cos x$
  • 对于 $f(x)\cos x+f'(x)\sin x>0(<0)$，构 $h(x)=f(x)\cdot\sin x$
  • 对于 $f(x)\cos x-f'(x)\sin x>0(<0)$，构 $h(x)=\dfrac{\sin x}{f(x)}$
• 对于 $\dfrac{f'(x)}{f(x)}>0(<0)$，分类讨论：
  • 若 $f(x)>0$，构 $h(x)=\ln f(x)$
  • 若 $f(x)<0$，构 $h(x)=\ln(-f(x))$

$\it 6.4.2$ 微分方程初步

【概念】

• 微分方程即同时含有 $y$ 与 $y'$ 的方程，在物理中常见。

$\rm VII$ 估值体系

$\it 7.1$ 估算方法

核心：除了直接使用估值方法算出具体值，仍然主打一个放缩。

【方法体系】（从常用到偏僻）

1. 粗算：利用估算值计算（变量差距较大，或者有明显能够分出大小的性质（例如一个大于 1，一个小于 1））
2. 构造函数（同构），导之。
3. 如果是式子比较大小，可以考虑赋值投机。
4. 尽量将变量化为类似的形式。

1. 粗比（估算）：先按照与 $0, 1$ 或其他数的大小关系分类，此法非常适合关系疏远的数的比较。
2. 利用单调性：形式特别类似的式子，构造函数利用单调性比较大小。
3. 利用函数：把数字改成 $x$，利用函数放缩、运算和图像比大小。
4. 把比较的对象变形，尽量形式接近然后比较，如 $2^{0.5}, 3^{0.4}$。
5. 找桥梁：两个数字关系不好找时，找一个桥梁然后比大小，如 $0.8^{0.9}, 0.9^{0.8}$。
6. 作差法比大小：此法适用于式子比大小，使用时要注意利用函数的性质。
7. 几何意义：此法适用于有几何意义的式子或零点之间比大小。
8. 利用基本不等式：适用于复杂的三角函数，如 $\sin x < x < \tan x$。
9. 举例子投机：适用于含有字母的式子比大小。

【常用估值手段】

• 常用公式：（下面这些 $x$ 越接近 $0$ 时越精确）（建议 $|x|\le 0.1$）（往后的项数越多就越精确）
• $e^x = \sum_{i = 0}^\infin \dfrac{x^i}{i!} \to x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + ...$
• $\ln(x + 1) = \sum_{i = 1}^\infin (-1)^{i-1}\times \dfrac{x^i}{i}\to x - \dfrac12x^2 + \dfrac13x^3 - \dfrac14x^4+...$（手撕所有 $\log$ 的秘诀）
• $\sqrt{x + 1} = 1 + \dfrac12x - \dfrac18x^2 + \dfrac1{16}x^3$（好奇怪诶）
• $\sin x=\sum_{i=0}^\infin\dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1} \to x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-...$
• $\cos x=\sum_{i=0}^\infin\dfrac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i} \to 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-...$
• 帕德逼近：若 $x\in [-2, 2]$，则 $e^x \approx \dfrac{x^2 + 6x + 12}{x^2 - 6x + 12}$。

$\it 7.2$ 常见估算值

• $e = 2.718281828$
• $\ln 2 = 0.693\to 0.7$
• $\ln 3 = 1.098\to 1.1$
• $\ln 5 = 1.609\to 1.6$
• $\ln 10 = 2.302$
• $e^2 = 7.389$
• $e^3 = 20.085$
• $e^{-1} = 0.367$
• 注意 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
• $\pi = 3.1415926535$
• $\pi^2 = 9.869$
• $\pi^{-1} = 0.318$
• 形如 $0.2^{0.1}$：尝试 $(0.2^{0.1})^{10}$ 或者 $\ln(0.2^{0.1})=0.1\ln0.2$
• $\sin 1 = 0.841, \cos 1 = 0.540$

$\rm VIII$ 函数客观题