说话

想说的话写这里。

2023.01.05

证明：\(\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k\sqrt k}<3\)。

偶然 yy 出来的逆天证法。

\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k\sqrt k}=1+\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k\sqrt k}<1+\int_1^n\dfrac{\text dk}{k\sqrt k} \]

\[\int\dfrac{\text dx}{x\sqrt x}=-2x^{-\frac12} \]

令其为 \(f(x)\)。当 \(x>0\) 时有 \(f(x)<0\)。

则 $$1+\int_1^n\dfrac{\text dk}{k\sqrt k}=1+f(n)-f(1)=3+f(n)<3$$

原式得证。

2023.01.06

貌似存在一种利用导数与积分证明数列前缀和的方法。

如

\[F(x)=\sum_{k=1}^nx^k,\ G(x)=\dfrac{x^{n+1}-x}{x-1} \\ F(x)=G(x)\rArr F'(x)=G'(x) \sum_{k=1}^nkx^{k-1}=G'(x) \]

就可以解决形如 \(\sum\limits_{k=1}^nkx^k\) 的求和。

2023.01.08

数学好难啊。

应该说是应试太逆天了。

2023.01.13

怎么数列题做出来一股浓浓的 OI 味啊？

\(f(a_n)\in[A, B]\rArr\sum\limits_{k=1}^nf(a_k)\in[An, Bn]\).

\(a_{n+1}>ka_n\rArr a_{n+1}>k^na_1\).

2023.01.14

对于不能直接处理的数列，可以尝试裂项。奇怪数列不等式的证明有一些基本的套路。某些题真的长得一股 OI 味。

怎么导数题也是一股 OI 味啊？

你说得对。

sx m p y s

2023.01.21

已知 \(C:x^2=4y, M:x^2+(y-4)^2=4\). \(A, B, D\in C\) 且 \(\ell_{AD}, \ell_{BD}\) 均切 \(M\)，\(|AD|=|BD|\)。求 \(x_D\)。

slk の A g