Dilworth

Dilworth

定理

偏序集能划分成的最少的全序集个数等于最大反链的大小。

名词解释

偏序

在集合 $S$ 中定义的二元关系 $\le$，如果它满足以下三个性质：

1. 自反性：$\forall x\in S$ 有 $x\le x$。
2. 反对称性：$\forall x,y\in S$，若 $x\le y,y\le x$，则有 $x=y$。
3. 传递性：$\forall x,y,z\in S$，若 $x\le y,y\le z$，则有 $x\le z$。

则称 $\le$ 为 $S$ 中的一个偏序关系，$(S,\le)$ 为一个偏序集。

全序集

对于定义在集合 $S$ 上的偏序关系 $\le$，若集合 $T$ 满足 $T\subseteq S$，且 $\forall x,y\in T$ 有 $x\le y$ 或者 $y\le x$ 成立，则称 $(T,\le)$ 为一个全序集。

换句话说，全序集就是不包含两个不可比元素的集合。

反链

反链的定义恰恰与全序集相反。

对于定义在集合 $S$ 上的偏序关系 $\le$，若集合 $T$ 满足 $T\subseteq S$，且 $\forall x,y\in T$ 有 $x\le y$ 和 $y\le x$ 都不成立，则称 $(T,\le)$ 为一个全序集。

换句话说，反链就是元素两两不可比的集合。

证明

不会，略。以后补。

应用情形

一般多元组集合

考虑最简单的二元组，那么得到的结论就是：导弹拦截可以用最长上升子序列求解。

图论模型

考虑定义 $u\le v$ 当且仅当 $u$ 可以到达 $v$。对于一个 DAG，发现 $\le$ 是定义在点集 $V$ 上的偏序关系，那么就有最小路径覆盖等于图上最长反链。在某些题目中，这个定理可以将网络流改为贪心，例如网络流 24 题中的魔术球。

这里附上魔术球的做题记录：

$n$ 个容器，从 1 开始往容器里放数，要求放的容器为空，或者放的数和容器里上一个放的数的和是完全平方数。问最多能放到多少，并构造方案。

$n\le55$

首先，答案必然递增。那么可以二分。如何判断是否可行？发现是最小路径覆盖。同一原理的另一种做法是不二分，每次加入一个点，然后继续跑一次网络流（不清空），第一次遇到容器不够的情况时退出。理论复杂度前者优，实际上后者常数很小。另一种思路是贪心，贪心地加入，能加就加，不能加就开新容器。正确性可以证明，利用 Dilworth 定理之类的东西。感性理解的话可以看作某个程度上的模拟网络流。