条件概率和事件的独立性

目录

• 条件概率
• 乘法公式
• 全概率公式
• 贝叶斯公式

条件概率#

已知事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的概率，记作 $P(A|B)$ 。

条件概率公式：

$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{p(B)}$$

注意：$P(A|B)$ 和 $P(B|A)$ 意义不一样。

栗题

题目大意

甲，乙两地下雨的概率分别为 $20\%$ 和 $18\%$ ，两地同时下雨的概率为 $12\%$

两地同时下雨的概率为 $12 \%$ ，求甲地下雨时，乙地也下雨的概率。

solution

$P(A) = 20\%, P(B) = 18\%, P(A\cap B) = 12\%$

套公式算就好了。

乘法公式#

乘法公式

由条件概率的计算公式 $P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}$ 得：

$$P(BA) = P(A)P(B|A)$$

栗题

题目大意

某人忘记了电话号码的最后一位，求他尝试了两次都不对的概率。

solution 1

设 $A$ 表示第一次没有拨对，$B$ 表示第二次没有拨对。

显然 $P(A) = \frac{9}{10}$ ，$P(B|A) = \frac{8}{9}$ ，那么 $P(AB) = P(A)P(B|A)$

$P(AB) = \frac{4}{5}$

solution 2

可以用排列组合来求解：

问题可以转化为用 $10$ 个数字排成数字不重复的两位数，求某个特定数字不出现的概率。

答案就是 $\frac{A_9^2}{A_{10}^{2}} = \frac{4}{5}$

全概率公式#

栗题

甲乙两个人抽奖，甲先抽，问乙中奖的概率。

solution

设 $A$ 表示甲中奖的概率，$B$ 表示乙中奖的概率。

$P(B) = P(AB + \overline{A}B) = P(BA) + P(\overline{A}B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$

其中

$$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$$

为全概率公式。

应用

题目大意

有二十个人，抽二十张签，不放回，第一个人抽到 $1$ 号签和后面的人抽到 $1$ 号签的概率相同么。

solution

设 $A_i$ 表示第 $i$ 个人抽到 1 号，显然 $P(A_1) = \frac{1}{20}, P(\overline{A_1}) = \frac{19}{20}$

$P(A_2|A_1) = 0, P(A_2 | \overline A_1) = \frac{1}{19}$

那么

$$P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline A_1)P(A_2|\overline A_1) = \frac{1}{20}$$

所以是公平的。

推广

定理 若样本空间 $\Omega$ 中的事件 $A_1, A_2 \dots A_n$ 满足：

（1）任意两个事件均互斥，即 $A_i A_j = \empty, i, j = 1, 2, \dots n, i\neq j$

（2）$A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega$

（3）$P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots,n$

则对 $\Omega$ 中的任意事件 $B$ ，都有 $B = BA_1 + BA_2 + \dots BA_n$， 且

$$P(B) = \sum_{i = 1}^{n} P(BA_i) = \sum_{i = 1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$$

该公式也叫全概率公式。

贝叶斯公式#

已知 $P(A), P(B|A), P(B|\overline A)$ 求 $P(A|B)$

由全概率公式和条件概率得到：

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

$P(AB) = P(BA) = P(A)\times P(B|A)$

$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)$

然后就得到了贝叶斯公式

$$P(A|B) = \frac{P(A)(B|A)}{P(B)} = \frac{P(A)(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)}$$

扩展

若样本空间 $\Omega$ 中的事件 $A_1, A_2 \dots A_n$ 满足

（1）任意两个事件互斥，即 $A_iA_j = \empty, i, j = 1, 2, n, i\neq j$

（2）$A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega$

（3）$1> P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots, n$

则对 $\Omega$ 中任意概率非零的事件 $B$ ，有

$$P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{P(B)} = \frac{P(A_j)(B|A_j)}{\sum_{i = 1}^{n} p(A_i)P(B|A_i)}$$