高斯消元

目录

• • 简介
  • 解方程
  • 矩阵运算消元
  • 判断解得情况
• 高斯-约当消元
  • 写在最后

简介#

高斯消元 主要用于求线性方程组，也可以求矩阵的秩、矩阵的逆

时间复杂度为 $O(n^3)$

思想：初中解方程的加减消元，最后得到类似 $kx = b$ ，然后逐一往回带，求出其他的未知数

解方程#

$$\begin{cases} 3x + 2y + z = 6~~① \\ \\ 2x + 2y + 2z = 4~~②\\ \\ 4x - 2y - 2z = 2~~③ \end{cases}$$

消 $x$

① 式除以 3，然后让 ② - 2 * ①，③ - 4 * ① 得到

$$\begin{cases} x + \frac {2}{3}y + \frac{1}{3}z = 2~~④ \\ \\ \frac{2}{3}y + \frac{3}{4}z = 0~~⑤\\ \\ -\frac{14}{3}y - \frac{10}{3}z = -6~~⑥ \end{cases}$$

然后让 ⑤ 除以 $\frac{2}{3}$， 然后让 ⑥ - ⑤ * ($-\frac{14}{3}$)

得到

$$\begin{cases} y + 2z = 0~~⑦\\ ~~\\ \frac{18}{3} z = -6~~⑧ \end{cases}$$

由 ⑧ 得 $z = -1$

然后再把 $z = 1$ 代入 ⑦ 得到 $y = 2$

然后把 $z=1,y = 2$ 代入 ④ 得到 $x = 1$

矩阵运算消元#

把上面的柿子的系数放在矩阵中

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 3&2&1&6\\ 2&2&2&4\\ 4&-2&-2&2 \end{array} \right]$$

左边是系数，右边是结果

然后再这个矩阵中进行上述操作

消去 x

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&2\\ 0&\frac{2}{3}&\frac{4}{3}&0\\ 0&-\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}&-6 \end{array} \right]$$

消去 y

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&2\\ 0&1&2&0\\ 0&0&\frac{18}{3}&-6 \end{array} \right]$$

解得

$$\left[ \begin{array} 11\\ 2\\ -1\\ \end{array} \right]$$

判断解得情况#

• 无解：若有一行系数全是 0，且 val 不为 0，那么方程无解

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&2\\ 0&1&2&0\\ 0&0&0&-7 \end{array} \right]$$

• 有多个解，有多行系数和 val 都为 0

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array} \right]$$

优点：可以判断无解，有无数解情况

缺点：需要回代

高斯-约当消元

高斯消元是执行到第 $i$ 个方程 $x_k$ 去消后面的 $x_k$ , 而约当消元是同时消掉前面的 $x_k$

初始形式：

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 3&2&1&6\\ 2&2&2&4\\ 4&-2&-2&2 \end{array} \right]$$

最终形式

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&0&0&?\\ 0&1&0&?\\ 0&0&1&? \end{array} \right]$$

呈对角线形式

优点：省掉了回代过程

缺点：只能判断是否有唯一解，不能判断是否有解

P3389 【模板】高斯消元法

code

写在最后#

鸣谢Alex_McAvoy 提供栗子