拉格朗日插值法

题目描述#

~~由小学知识得~~： $n + 1$ 个 $x$ 坐标不同的点确定唯一的最高次为 $n$ 次的多项式 $y = f(n)$ 。现在给出 $n + 1$ 个点，求出这些点构成的多项式在某一位置的取值

拉格朗日插值法#

假设给出的曲线是个二次多项式

f (x) = a x^{2} + b x + c

$f(x) = ax^2 + bx + c$

现在有三个已经确定的点 $(x_1, y_1)$ ， $(x_2, y_2)$ , $(x_3, y_3)$

代入柿子

{\begin{cases} f (x_{1}) = a x_{1}^{2} + b x_{1} + c \\ f (x_{2}) = a x_{2}^{2} + b x_{2} + c \\ f (x_{3}) = a x_{3}^{2} + b x_{3} + c \end{cases}

$\begin{cases} f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c\\ f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c\\ f(x_3) = ax_3^2 + bx_3 +c \end{cases}$

很显然可以用高斯消元求出 $a,b,c$ , 时间复杂度 $O(n^3)$

但拉格朗日插值法只需要 $n^2$

神奇的构造：

我们需要构造三条曲线 $f_1,f_2,f_3$

对于第一条曲线 $f_1(x)$

令 $f_1(x_1) = 1, f_1(x_2) = f_1(x_3) = 0$

对于第二条曲线 $f_2 (x)$

令 $f_2(x_2) = 1, f_2(x_1) = f_2(x_3) = 0$

对于第三条曲线 $f_3(x)$

令 $f_3(x_3) = 1, f_3(x_1) = f_3(x_2) = 0$

然后

$y_1f_1(x)$ 就能保证在 $x_1$ 处为 $y_1$ ， $x_2，x_3$ 处为取值为 0
$y_2f_2(x)$ 就能保证在 $x_2$ 处为 $y_2$ ， $x_1，x_3$ 处为取值为 0
$y_3f_3(x)$ 就能保证在 $x_3$ 处为 $y_3$ ， $x_1，x_2$ 处为取值为 0

再然后

f (x) = y_{1} f_{1} (x) + y_{2} f_{2} (x) + y_{3} f_{3} (x)

$f(x) = y_1f_1(x) + y_2f_2(x) + y_3f_3(x)$

神奇发现这三条曲线就求出了想要的那条曲线

推导

对于上面的三条曲线显然满足性质

f_{i} (x_{j}) = {\begin{cases} 1 (i = j) \\ 0 (i \neq j) \end{cases}

$f_i(x_j) = \begin{cases} 1~~~(i = j)\\ 0~~~(i \neq j) \end{cases}$

然后构造出这么个柿子

f_{1} (x) = \frac{(x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3})}

$f_1(x) = \frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)}$

进一步推广

f_{i} (x) = \prod_{j \neq i}^{j \leq n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

$f_i(x) = \prod_{j \neq i}^{j\leq n}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}$

然后就有了

f (x) = \sum_{i = 1}^{i = n} y_{i} * f_{i} (x)

$f(x) = \sum_{i = 1}^{i = n} y_i * f_i(x)$

P4781 【模板】拉格朗日插值

code

x 取值连续时#

当题目要用到的 x 取值是连续的，上面的柿子可以优化到 $O(n)$

先列出柿子

f (k) = \sum_{i = 1}^{i = n} y_{i} * \prod_{j \neq i}^{j \leq n} \frac{x_{k} - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

$f(k) = \sum_{i = 1}^{i = n} y_i * \prod_{j \neq i}^{j\leq n}\frac{x_k - x_j}{x_i - x_j}$

考虑 $O(1)$ 求出 $\prod_{j \neq i}\frac{x_k - x_j}{x_i - x_j}$

维护 $x_k$ 的前缀积和后缀积

p r e_{i} = \prod_{j = 0}^{i} (x_{k} - x_{j}) s u f_{i} = \prod_{j = i}^{n} (x_{k} - x_{j})

$pre_i = \prod_{j = 0}^{i} (x_k - x_j)\\ suf_i = \prod_{j = i}^{n} (x_k - x_j)$

对于分母，就是个阶乘形式，柿子就成了

f (k) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \frac{p r e_{i - 1} * s u f_{i + 1}}{f a c_{i} * f a c_{n - i}}

$f(k) = \sum_{i = 0}^{n}y_i\frac{pre_{i - 1}*suf_{i + 1}}{fac_i * fac_{n - i}}$

坑：当 $n - i$ 为奇数的时候分母为负值

CF622F The Sum of the k-th Powers

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重心拉格朗日插值法#

有毒瘤题目会随时增加或者减少差值点，这个时候曲线就会改变，上面的柿子就需要重新计算了，那么上面的复杂度就会退化成 $n^3$ 于是就有了重心拉格朗日插值 ~~(好像牛顿插值法也可以办到 = =)~~

还是前面的柿子

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \prod_{i \neq j} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \frac{\prod_{i \neq j} x - x_{j}}{\prod_{i \neq j} x_{i} - x_{j}} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \frac{\prod_{i = 1}^{n} (x - x_{i})}{\prod_{i \neq j} (x_{i} - x_{j}) * (x - x_{i})} = \prod_{i = 1}^{n} (x - x_{i}) \sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i}}{\prod_{i \neq j} (x_{i} - x_{j}) * (x - x_{i})}

$f(x) = \sum_{i = 1}^{n}y_i\prod_{i\neq j} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\\ ~~\\ = \sum_{i = 1}^{n}y_i\frac{\prod_{i\neq j}{x - x_j}}{\prod_{i\neq j}{x_i - x_j}}\\ ~~\\ = \sum_{i = 1}^{n}y_i\frac{\prod_{i = 1}^{n}(x - x_i)}{\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)*(x - x_i)} ~~\\ ~=\prod_{i = 1}^{n}(x - x_i)\sum_{i = 1}^{n}\frac{y_i}{\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)*(x - x_i)}$

令 $g = \prod_{i = 1}^{n}(x - x_i),t(i) = \prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$