扫描线

一种求多个矩形和周长\(∪\)的方法

扫描线：假设有一条扫描线从一个图形的下方扫向上方（或者左方扫到右方），那么通过分析扫描线被图形截得的线段就能获得所要的结果。该过程可以用线段树实现——洛谷题解

面积并

二话不说先上图——自己画图贼丑，所以暂且借一下洛谷的图

如何求上面两个矩形的面积呢？？

我们假设一条扫描线从下方开始向上扫，扫到横边的时候停止、

首先我们将矩形的上下边分为上位边(即y坐标大的那条平行于x轴的边),和下位边(y坐标小的平行于x轴的边).然后我们把所有矩形的上下位边按照他们y坐标从小到大排序,可以得到4条扫描线:

根据图可以看出，对图形面积有贡献的是横边左右端点的坐标，我们把矩形的下边赋予权值为1，上边为-1，然后把所有的边按照纵坐标大小升序排序（模拟扫描过程）；

然后捏??

线段树是个好东西（每次都挂）

我们把所有的边离散化，把横坐标存到一个数组里，升序排列，然后去重（防止x为浮点数且很大无法进行线段树）

上图可以看出，四个横坐标把x轴分成了5段，我们取中间3段间线段树维护

其中每个端点维护每个线段信息:

1.该线段被覆盖了多少次（被多少个矩形所覆盖）
2.该线段内被整个图形所截的长度是多少

显然，只要一条线段被覆盖，那么它肯定被图形所截。所以，整个问题就转化为了一个区间查询问题，即：每次将 当前扫描线扫到的边 对应的信息 按照之前赋上的权值更新，然后再查询线段树根节点的信息，最后得到当前扫描线扫过的面积。这就可以用线段树来实现了

模拟过程

我们已经知道，这棵线段树的每个节点都对应了一条线段。考虑将线段树上节点对应的区间和横边建立映射关系。先看对于一个叶子节点\(x\)，建树时保证了\(tree[x].l=tree[x].r\)但其保存的信息很显然不可能只是某条线段的一个端点（如果一条线段的两个端点重合，那么它实质上仅是一个点）。再看一个节点的左右儿子，同样地，建树的时候已经保证了左右儿子的区间不会重合（交集为空），但是看这样两条相邻线段：\([1,2],[2,3]\)你会发现\([1,2]∩[2,3]={2}\)，也就是说左儿子的右端点和右儿子的左端点其实是重合的。

考虑把线段树每个节点\(x\)对应的区间\(（tree[x].l,tree[x].r）\)不变，改变区间和横边的映射关系，具体为：节点\(x\)对应\([X[tree[x].l],X[tree[x].r+1]]\)这条横边。可以看到，这里很机智地把右端点的对应关系给改了下，于是就兼容了