素数筛法

入土

初识c++的素数筛举，n²暴力，枚举每一个数，如果这个数的约数只有两个，它就为质数

入门

n²时，只判断到根号就刹车

经典

埃式筛法

O(nloglogn)

基本思想：从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的

node

int vis[maxn];  
void Prime(){
    memset(vis,0);           //初始化都是素数
    vis[0] = vis[1] = 1;  //0 和 1不是素数
    for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if (!vis[i]) {         //如果i是素数，让i的所有倍数都不是素数
            for (int j = i*i; j <= maxn; j += i) { 
                vis[j] = 1;
            }
        }
    }

缺陷：
对于一个合数，有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……
那么如何确保每个合数只被筛选一次

进阶

欧拉筛

O(n)

基本思想：在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的

node

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Prime(){
    memset(visit,0);
    memset(prime, 0);
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

1.对于visit[i*prime[j]] = 1 的解释：

这里不是用 i 的倍数来消去合数，而是把 prime里面纪录的素数，升序来当做要消去合数的最小素因子
用 i 来当倍数

2.对于 i % prime[j] == 0 就break的解释 ：

满足这个条件的时候，i 就可以用 prime[j] 乘以一个数表示出来了，后面的质因子乘以 i 都能用 pre[j] 乘以一个数表示出来,所以就不用向后枚举了

具体证明

当 i 是 prime[j]的倍数时，i = k * prime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k * prime[j+1]，

这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环

举个例子 ：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，

在i = 12时会计算,因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。