2023.3.6 省选模拟赛总结

1.时间安排

7:30~8:30

T1：与逆序对相关的计数，需要记权值和，\(n\) 范围很小也许是状压，但是 \(m\) 与模数同级可能连组合数都不好求。

T2：和T1很类似的数据范围，\(m\) 更是到了逆天的 \(1e18\)，见过类似的题[ABC288Ex] A Nameless Counting Problem，但不会做，而且数据范围截然不同。

T3：莫反题，但是涉及到了除数函数，不擅长。

把T1T2暴力写了，觉得都太逆天了，就没继续想。

8:30~12:00

先把T3的 \(nlogn\) 基础莫反写了，然后进行了漫长的推式子，终于在11点推出来了线性筛的式子，写完没精力上杜教筛了。

result:

T1:10 T2:15 T3:15(25，忘改数组大小RE)

2.总结

三个逆天数数……

T1：

按套路从小到大放数，用二进制状态表示比 \(i\) 小的数放的集合，判断状态合法转移即可做到 \(O(m*3^n)\)。

按套路拉格朗日差值，方案数是关于 \(m\) 的 \(n\) 次多项式，方案的权值和是关于 \(m\) 的 \(n+1\) 次多项式，直接拉插就可以做到 \(n*3^n\)。

可以提前把所有合法的状态转移预处理出来，是跑不满 \(n*3^n\) 的，足够通过。

不知道该写什么。

我也不知道给时间留够了能不能写出来，但是三题都是高强度计数怎么让人冷静下来思考……

T2：

假设序列单调递增，构造序列 \(b\)，若 \(a_i=a_{i+1)\) ，则 \(b_i=0\)，反之 \(b_i=1\)。

那么每次新增一位时一定是前缀一段0后缀一段1，根据目标这一位是否是1决定1的个数的奇偶性，状态是容易合并的。

这个过程可以用矩乘优化，复杂度 \(O(num*(2^n)^2*logm+(2^n)^3*logm)\)。

按套路压缩状态，长度相等的连续段的数量相同的状态本质相同，都可以被同一个01串转换到相同的压缩状态，打表得到只有 \(231\) 个本质不同的状态。

复杂度 \(O(num*231^2*logm+231^3*logm)\)。

感想同T1

T3：

考场上莫反到了求 \(\sum_{D=1}^{n}(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor)^2\sum_{d|D}^{D}d*\phi(\frac{D}{d})\)

上面的式子主要是为了筛积性函数方便。

按杜教筛定义式给 \(\phi * id\) 补上一个 \(I\)，有 \((\phi * id * I)(n)=n * d(n)\)。

那么就需要求 \(\sum_{i=1}^{n}i * d(i)\)。

\(\sum_{i=1}^{n}i * d(i)=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{j|i}^{i}1=\sum_{i=1}^n i * \lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)

那么直接上杜教筛，复杂度 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。

考试时候的nt（脑瘫，逆天均可）操作：

典中典之化简一圈化道原形式。

化简了好久才想到拆除数函数定义式。

当我写下 \((id * id)(n)=n * d(n)\) 时，小丑的面具自动跑到我的脸上。

典中典之不会筛除了 \(\phi，\mu\) 以外的积性函数。

典中典之筛的时候取模除法用逆元线性筛带log。

典中典之记录最小质因子的 \(k\) 次幂取模。

典中典之忘了降幂公式是模 \(\phi(mod-1)\)。

（基本上把莫反和数论常见错误犯了一遍……）