斐波那契数列的一些重要性质及其证明

一.\(gcd(f_{n},f_{n+1})=1\)

证明：

\[\begin{aligned} &gcd(f_{n},f_{n+1})&\\ =&gcd(f_{n},f_{n+1}-f_{n})&\\ =&gcd(f_{n},f_{n-1})&\\ =&……&\\ =&gcd(f_{1},f_{2})&\\ =&1& \end{aligned} \]

二.\(f_{m}=f_{m-n-1}\times f_{n}+f_{m-n}\times f_{n+1}\)

证明：

假设\(n<m\)，且\(f_{n}=a,f_{n+1}=b\)。
则\(f_{n+2}=a+b,f_{n+3}=a+2b,f_{n+4}=2a+3b\)。
我们可以发现ａ和ｂ前面的系数就是一个斐波那契数列，因此\(f_{m}=f_{m-n-1}\times a+f_{m-n} \times b\)，得证。
推论：\(f_{n+m}=f_{m-1}\times f_{n}+f_{m}\times f_{n+1}\)

三.\(gcd(f_{n},f_{m})=f_{gcd(n,m)}\)

证明：

由性质二我们知道\(gcd(f_{n},f_{m})=gcd(f_n,f_{m-n-1}\times f_{n}+f_{m-n}\times f_{n+1})\)。
又我们知道\(f_{n}|f_{m-n-1}\times f_{n}\)，由性质一我们知道\(gcd(f_{n},f_{n+1})=1\)，因此

\[gcd(f_{n},f_{m})=gcd(f_{n},f_{n-m}) \]

根据该等式我们即可得证该性质成立。

参考资料：

洛谷Ｐ1306博客:传送门