高中生活 解题报告

upd 2024.2.21

更改了时间复杂度问题。

题目描述

给出 $n,m$ ，求：

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m\text{lcm}(i,j{)}^{gcd(i,j)}$$

$n,m⩽{10}^6$ 。多测，数据组数 $T⩽100$ 。

思路点拨

分解 $\text{lcm}$ :

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m({\displaystyle \frac{ij}{gcd(i,j)}}{)}^{gcd(i,j)}$$

可以转化为两个问题：

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m(ij{)}^{gcd(i,j)}$$

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^{m}gcd(i,j{)}^{gcd(i,j)}$$

分子部分看起来比较简单，并且可以拆分为 $i,j$ 两个独立的问题，我们拿 $i$ 举例子：

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{i}^{gcd(i,j)}$$

$$\prod _{i=1}^n{i}^{\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)}$$

先考虑幂次的式子,这个莫比乌斯反演感觉不那么方便：

$$\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)=\sum _{j=1}^m\sum _{d|j,d|i}\phi (d)=\sum _{d|i}\phi (d)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor$$

带回原式

$$\prod _{i=1}^n{i}^{\sum _{d|i}\phi (d)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor }$$

发现 $\lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor$ 阻止了快速运算，转而枚举 $d$:

$$\prod _{d=1}^n\prod _{d|i}{i}^{\phi (d)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor }=\prod _{d=1}^n(\prod _{d|i}i{)}^{\phi (d)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor }$$

其中关于 $\prod _{d|i}i=fac(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\times d^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }$

带回原式得到：

$$\prod _{d=1}^n(fac(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\times d^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{)}^{\phi (d)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor }$$

这个时候，如果 $\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$ 和 $\lfloor \frac{m}{d}\rfloor$ 一样就好了，可以使用富比尼定理在 $O(\sqrt{n})$ 级别的时间进行枚举。对于一段连续值域的 $d$ ，我们需要计算 $\prod _{d=l}^r{d}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }$ ，因为 $\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$ 是一样的，所以等价于 $(\prod _{d=l}^{r}d{)}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }$ ，可以使用阶乘和逆元求出 $O(\log mod)$ 求出。

我们完成了分子的计算，单次花费 $O(\sqrt{n}\log mod)$ ，是一个可以接受的时间。

考虑分母部分：

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^{m}gcd(i,j{)}^{gcd(i,j)}$$

显然可以枚举一个 $gcd$ ：

$$\prod _{d=1}^n(d^d{)}^{\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]}$$

考虑幂次的部分：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }[gcd(i,j)=1]$$

记这个式子的值为 $sum(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$ ，所以：

$$sum(n,m)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=1]$$

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|i,d|j}\mu (d)$$

枚举 $d$

$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor {\displaystyle \frac{n}{d}}\rfloor \lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor$$

这个可以简单整除分块一下，时间 $O(\sqrt{n})$

我们带回原式：

$$\prod _{d=1}^n(d^d{)}^{sum(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )}$$

整除分块套整除分块，时间复杂度大约为 $O(n^{0.0.66})$ 单次，大概吧。

所以时间复杂度可以在 $O(n\log mod)$ 预处理的情况下做到单次 $O(n^{0.66}+n^{0.5}\log mod)$ 。应该是一个可以通过的时间。