杂题20240131

CF1753C

思路点拨

考虑一共有 $s$ 个 $0$ ，$n-s$ 个 $1$ 。最终序列的形态就是 $s$ 个 $0$ 在最前面，后面全部都是 $1$ 。

考虑在前 $s$ 个位置中有 $k$ 个 $1$ ，那么只需要将这 $k$ 个 $1$ 移动到后面就可以了。考虑第一次有效操作的概率，有 ${\displaystyle \frac{n(n-1)/2}{k^2}}$ 的概率一次完成,令其为 $p$ ,则期望操作的次数为：

$$\sum (1-p{)}^{i-1}p\times i=p\sum (1-p{)}^{i-1}i$$

考虑 $\sum (1-p{)}^{i-1}i$ 的值，将这个值乘上 $(1-p)$ ,然后原式与之相减：

$$\sum (1-p{)}^{i-1}i-\sum (1-p{)}^{i}i=\sum (1-p{)}^{i-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-(1-p){)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{p^2}}$$

然后带回原式得到 $p\sum (1-p{)}^{i-1}i={\displaystyle \frac{1}{p}}$ 。

这个时候第一次有效操作的答案就得到了，${\displaystyle \frac{k^2}{n(n-1)/2}}$ 。

最终答案就是 $k$ 次有效操作的期望和，$\sum _{i=1}^k{\displaystyle \frac{i^2}{n(n-1)/2}}$ 。