杂题20240131

CF1753C

思路点拨

考虑一共有 \(s\) 个 \(0\) ，\(n-s\) 个 \(1\) 。最终序列的形态就是 \(s\) 个 \(0\) 在最前面，后面全部都是 \(1\) 。

考虑在前 \(s\) 个位置中有 \(k\) 个 \(1\) ，那么只需要将这 \(k\) 个 \(1\) 移动到后面就可以了。考虑第一次有效操作的概率，有 \(\dfrac{n(n-1)/2}{k^2}\) 的概率一次完成,令其为 \(p\) ,则期望操作的次数为：

\[\sum (1-p)^{i-1}p\times i=p\sum (1-p)^{i-1}i \]

考虑 \(\sum (1-p)^{i-1}i\) 的值，将这个值乘上 \((1-p)\) ,然后原式与之相减：

\[\sum (1-p)^{i-1}i-\sum (1-p)^{i}i=\sum (1-p)^{i-1}=\dfrac{1}{(1-(1-p))^2}=\dfrac{1}{p^2} \]

然后带回原式得到 \(p\sum (1-p)^{i-1}i=\dfrac{1}{p}\) 。

这个时候第一次有效操作的答案就得到了，\(\dfrac{k^2}{n(n-1)/2}\) 。

最终答案就是 \(k\) 次有效操作的期望和，\(\sum_{i=1}^k \dfrac{i^2}{n(n-1)/2}\) 。