Trick 信友队2023

就是收集了trick 。

线段树的扩展用法

• 单侧递归线段树
• 历史最大值线段树 (卢瑞恩)
• $\text{Segment Tree Beats}$

其中历史最大值线段树和 $\text{Segment Tree Beats}$ 的历史最值操作可以结合。如果由区间修改操作会影响 $\text{Segment Tree Beats}$ 的势能，具体的，每操作一次会让 $O({\log }^{2}n)$ 个区间的势能增加 $O(1)$ ，所以时间复杂度将会多一个 $\log n$ 。

• 历史版本和线段树 （维兹南与蘑菇）

• $\text{KTT}$ （滴叉讲课）

其中 $\text{KTT}$ 和 $\text{Segment Tree Beats}$ 的历史最值操作可以相互结合。因为势能系统相互独立，所以时间复杂度在 $O(n\text{polylog}n)$ ，实际上 $\text{polylog}$ 在 $\log \sim {\log }^2$ 之间，但是理论上来说是 ${\log }^{3}n$ 。

关于区间 $\text{mex}$

我们定义一个区间 $[l,r]$ 为好的，当且仅当对于 $\mathrm{\forall }[L,R]\in [l,r)\cup (l,r],\text{mex}\{L,R\}\ne \text{mex}\{l,r\}$ 。那么可以证明，这样的区间数量在 $2n$ 以内。(维兹南与蘑菇)

平面图与对偶图

• 平面图的最小割相当于对偶图的最短路 （小方的疑惑2）

竞赛图

• 竞赛图缩点之后是链状结构，每一个节点向之后强连通分量内的节点连边。

• 竞赛图的一个强连通分量内一定存在哈密顿回路（星际旅行）

• 竞赛图存在哈密顿路径

• 竞赛图存在哈密顿回路的要求是强连通。

• 竞赛图的三元环个数为 $C_n^3-\sum C_{d_i}^2$ , $d_i$ 为节点 $i$ 的出度。（图图）

二分图

• 二分图存在完美匹配的条件是满足 $\text{Hall}$ 定理。

其中对于 $\text{Hall}$ 定理的定义是：假设二分图的左右部点分别为 $U,V(|U|⩽|V|)$ ,如果对于 $\mathrm{\forall }S\in U,|S|⩽N(S)$ ，那么存在完美匹配。

$\text{Hall}$ 定理的推广

• 如果要求匹配 $>p$ ，那么要求 $\mathrm{\forall }S\in U,|S|-(|U|-p+1)⩽N(S)$

• 如果匹配的条件是第 $i$ 个左部点匹配 $r_i$ 个右部点，那么要求 $\mathrm{\forall }S\in U,\sum _{u\in S}{r}_u⩽N(S)$

卷积

• $FFT$ 和 $NTT$ ，普通卷积（lxl毒瘤卡常题——星际殖民）

• $FWT$ ，位运算卷积（或，异或，与）；集合卷积 （涨工资）

关于异或

异或与 $2^k$ 相乘是有分配律的。例如 $(x\oplus y)\times 2^k=(2^{k}x)\oplus (2^{k}y)$ 。（涨工资）